Ergotikus elosztás

Definíció

Legyen egy homogén Markov-lánc diszkrét idővel és megszámlálható számú állapottal. Jelöli $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$

p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)

lépésenkénti átmeneti valószínűségek . Ha létezik olyan diszkrét eloszlás , hogy és $n$ $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$ $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$

\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots

akkor ergodikus eloszlásnak nevezzük , magát a láncot pedig ergodikusnak .

Ergodikus eloszlások alaptétele

Legyen egy Markov-lánc diszkrét állapottérrel és egy átmeneti valószínűségi mátrixszal . Akkor ez a lánc akkor és csak akkor ergodikus $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$

Ekkor az ergodikus eloszlás az egyetlen megoldás a rendszerre: $\mathbf {\pi }$

\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}

Lásd még

Helyhez kötött elosztás .

Az állapotok és Markov-láncok osztályozása
Állapot	időszakos visszaváltható elérhető visszavonhatatlan jelentéktelen nulla időszakos pozitív kommunikál jelentős
Lánc	időszakos visszaváltható visszavonhatatlan felbonthatatlan nulla időszakos pozitív lebontható ergodikus