Periodikus állapot

A periodikus állapot a Markov-lánc olyan állapota, amelyet a lánc csak olyan időintervallumokban keres fel, amelyek egy rögzített szám többszörösei.

Állami időszak

Adjunk meg egy diszkrét idejű homogén Markov-láncot átmeneti valószínűségi mátrixszal . Konkrétan bármelyik esetén a mátrix a lépésenkénti átmenet valószínűségeinek mátrixa . Tekintsünk egy sorozatot . Szám $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P$ $n\in \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ $n$ $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)

ahol a legnagyobb közös osztót jelöli , állapotperiódusnak nevezzük . $\gcd$ $j$

Megjegyzés

Így az állapot periódusa , ha abból, hogy , az következik, hogy osztható -vel . $j$ $d(j)$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $n$ $d(j)$

Periodikus állapotok és láncok

Ha , akkor az állapotot periodikusnak nevezzük . Ha , akkor az állapotot aperiodikusnak nevezzük . $d(j)>1$ $j$ $d(j)=1$ $j$

Az állapotok kommunikációjának időszakai egybeesnek:

{\megjelenítési stílus (i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))}

Így a Markov-lánc bármely felbonthatatlan osztályának periódusa meghatározott, és megegyezik bármely képviselőjének periódusával. Ennek megfelelően az osztályokat periodikusra és időszakosra osztják.

Ha egy Markov-lánc felbonthatatlan, akkor minden állapotának periódusai egybeesnek, és az általuk felvett közös értéket a lánc periódusának nevezzük. Egy láncot periodikusnak nevezünk, ha a periódusa nagyobb egynél, és aperiodikusnak egyébként.

Az állapotok és Markov-láncok osztályozása
Állapot	időszakos visszaváltható elérhető visszavonhatatlan jelentéktelen nulla időszakos pozitív kommunikál jelentős
Lánc	időszakos visszaváltható visszavonhatatlan felbonthatatlan nulla időszakos pozitív lebontható ergodikus