A Smith-szám egy olyan összetett szám , amelynek számjegyeinek összege (valamilyen számrendszerben , általában decimálisan ) megegyezik az összes prímtényezője számjegyeinek összegével , figyelembe véve a multiplicitást. Tehát egy példa Smith-számra: 202 = 2 × 101, mivel 2 + 0 + 2 = 4 , és 2 + 1 + 0 + 1 = 4 .
Az első ötven Smith-szám [1] :
4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 52 , 52 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 915 , 922 , 958 , 985, 985, 985, 985, 985, 985 , 1086 . 1111 , 1165 , …1987- ben Wayne McDaniel amerikai matematikus bebizonyította, hogy végtelenül sok Smith-szám létezik. A 10 n -nél kisebb Smith-számok száma n =1,2,… esetén [2] :
1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, …A Smith-számok fogalmát Albert Wilansky , a Lehigh Egyetem munkatársa vezette be 1982 -ben . A telefonkönyvet átnézve a matematikus észrevette, hogy veje, Harold Smith (493-7775) telefonszámának az az érdekes tulajdonsága, hogy számjegyeinek összege megegyezik az összes prímtényező számjegyeinek összegével. . A 4 937 775 szám prímtényezőkre van bontva a következőképpen: 4 937 775 = 3 × 5 × 5 × 65 837. A telefonszám számjegyeinek összege: 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42 , és a prímtényezők számjegyeinek összege is egyenlő 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42 . Wilanski ezt a számtípust sógoráról nevezte el. Mivel minden prímszám rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, Wilanski nem vette fel őket a definícióba.
A legnagyobb ismert Smith-szám ( 2005 -ös állapot szerint ).
9 R 1031 (10 4594 +3 10 2297 +1) 1476 10 3913210 ,ahol R 1031 = (10 1031 −1)/9 egy újraegység .
Két egymást követő természetes számot, amelyek Smith-számok (például 728 és 729, 2964 és 2965), Smith-ikreknek nevezzük . Jelenleg nem ismert, hogy a Smith ikrek száma végtelen-e. Hasonlóan határozzák meg a Smith-hármasokat, négyeseket stb. A legkisebb n Smith kezdeti eleme n =1,2,… esetén : [3] :
4, 728, 73,615, 4,463,535, 15,966,114, 2,050,918,644, 164,736,913,905, …Végtelen számú Smith-szám létezik, amelyek decimális jelölése palindromot jelöl (ugyanazt olvassuk balról jobbra és jobbról balra).