Magánfarm

A számelméletben a Fermat-hányados egy a ≥ 2 egész számra egy egyszerű p bázis felett tört [1] [2] [3] [4]

q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p)).

Ha a koprím p -re , akkor Fermat kis tétele kimondja, hogy q p ( a ) egész szám. A közlegény Pierre de Fermat nevéhez fűződik .

Tulajdonságok

A definícióból nyilvánvaló, hogy

q_{p}(1)\equiv 0{\pmod {p))

q_{p}(-a)\equiv q_{p}(a){\pmod {p))

1850-ben Gotthold Eisenstein bebizonyította, hogy ha a és b is relatív prímek p -hez , akkor: [5]

q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b){\pmod {p))

;

q_{p}(a^{r})\equiv rq_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a+p)\equiv q_{p}(a)-{\frac {1}{a}}{\pmod {p}}

;

q_{p}(p-1)\equiv 1{\pmod {p))

;

q_{p}(p+1)\equiv -1{\pmod {p))

Eisenstein az első két összefüggést a logaritmus tulajdonságaival hasonlította össze.

Ezekből a tulajdonságokból az következik

q_{p}(1/a)\equiv -q_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a/b)\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b){\pmod {p))

1895-ben Dmitrij Mirimanov (Dmitry Mirimanoff) rámutatott, hogy Eisenstein szabályainak következetes alkalmazása [6]

q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\frac {1}{a}}{\pmod {p}}.

Ebből az következik, hogy [7]

q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p)).

Különleges alkalmak

Eisenstein azt találta, hogy a Fermat-hányados a 2-es bázishoz hasonlítható modulo p számok 1-től ig terjedő reciprokainak összegéhez , azaz egy harmonikus számhoz : ${\frac {p-1}{2}}$ $H_{\frac {p-1}{2}}$

-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\equiv H_{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.

Újabb szerzők kimutatták, hogy egy ilyen ábrázolásban az elemek száma 1/2-ről 1/4-re, 1/5-re vagy akár 1/6-ra csökkenthető:

-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\ pmod {p}}.

[nyolc]

4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\ rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}} \rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[9]

2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\ rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[10] [11]

Az Eisenstein-féle összehasonlítások összetettsége növekszik, ahogy a Fermat-féle parciális bázis növekszik, az első néhány példa:

-3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{ \pmod{p}}.

[12]

-5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+ 2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k} }{\pmod{p}}.

[13]

Általánosított Wieferich prímszámok

Ha q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), akkor a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Azokat a prímeket, amelyekre ez a = 2-re igaz, Wieferich-prímeknek nevezzük . Általánosabb esetben a prímbázisú Wieferich-prímeknek nevezzük őket. Ismert megoldások q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) kis a esetén : [2]

a	p	OEIS sorozat
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
7	5, 491531	A123693
tizenegy	71
13	2, 863, 1747591	A128667
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669

A legkisebb megoldás q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), ahol a = n- edik prím

1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … szekvencia A174422 az OEIS -ben .

Wieferich-párnak nevezzük azt a ( p , r ) prímpárt, amelyben q p ( r ) ≡ 0 (mod p ) és q r ( p ) ≡ 0 (mod r ) .

Jegyzetek

↑ Weisstein, Eric W. Fermat hányados a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ 1 2 Fermat hányados a The Prime Glossary -ban
↑ Paulo Ribenboim , 13 előadás Fermat utolsó tételéről (1979), különösen 152., 159-161. oldal.
↑ Paulo Ribenboim , Számaim, Barátaim: Népszerű előadások a számelméletről (2000), p. 216.
↑ Gotthold Eisenstein , "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden", Bericht über die zur Bekanntmachung der Köglund geeigneten Verniglund geeigneten. Nyomja meg. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
↑ Dmitrij Mirimanoff , "Sur la congruence ( r p − 1 − 1): p = qr(mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 köt. (Lipcse, 1902), 1:159.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , "On the Residues of r p − 1 to Modulus p 2 , p 3 , stb.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
↑ Ladislav Skula, "Megjegyzés a modulo p reciprok speciális összegei közötti összefüggésekről ", Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
↑ Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson", Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.
↑ Karl Dilcher és Ladislav Skula, "Új kritérium Fermat utolsó tételének első esetéhez", Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , "A Bernoulli-függvény általános kongruencia tétele", Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, pp. 49-50.
↑ Mathias Lerch , "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…", Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.

Linkek

Gottfried Helms. Fermat-/Euler-hányadosok ( a p -1 – 1)/ p k tetszőleges k -val .
Richard Fischer. Fermat-hányadosok B^(P-1) == 1 (mod P^2) .