Appel egyenletek

A klasszikus mechanikában az Appel-egyenleteket a Newton által javasolt általános mozgásegyenletek alternatív megfogalmazásának tekintik. Paul Appel 1900 -ban bocsátotta el [1] . Annak ellenére, hogy ezek az egyenletek teljesen egyenértékűek a Newton-törvényekből és a legkisebb cselekvés elvéből származó egyenletekkel, az Appell-egyenletek bizonyos esetekben kényelmesebbnek bizonyulnak, különösen, ha a rendszert mechanikai kényszerek korlátozzák .

Megfogalmazás

Legyen adott tömegű anyagpontok mechanikai rendszere , amelyre geometriai (1) és lineáris kinematikai (2) kényszerek vonatkoznak: $N$ $m_{1},m_{2},\pontok,m_{N}$

(egy)

f_{{\alpha }}({\mathbf {r}}_{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \alpha =1,.. .,d

(2)

\sum _{{\nu =1}}^{{N}}{\mathbf {A}}_{{\beta \nu }}({\mathbf {r}}_{1},..., {\mathbf {r}}_{N},t)\cdot {\mathbf {{\dot {r}}}}_{\nu }+A_{{\beta }}({\mathbf {r}} _{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \beta =1,...,g

A rendszer mozgását akkor szükséges leírni, ha ismertek az aktív erők (az egyes pontokra ható erők az időtől, az összes pont elhelyezkedésétől és sebességüktől függenek), és ismert a rendszer kezdeti állapota (helyzete ill. minden pont sebessége a kezdeti időpillanatban). ${\mathbf {F}}_{1},...,{\mathbf {F}}_{N}$

Az Appel-egyenletek érvényességéhez szükséges mechanikai rendszerrel kapcsolatos egyik legfontosabb feltételezés, hogy a kialakuló kényszerreakciókat ideálisnak tekintjük, vagyis a pontok egyetlen virtuális eltolásán sem működnek összesen. a rendszerről.

Holonom rendszer esetén, amikor a kinematikai kényszerek hiányoznak vagy integrálhatók (vagyis geometriai kényszerekre redukálódnak), az Appell-egyenletek a következőképpen alakulnak:

(3)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {q}}_{{k}}}}=G_{{k}}),\quad k=1,...,n

ahol

n=3N-d

a rendszer geometriai szabadságfokainak száma;

q_{1},...,q_{n}

- egymástól független , általánosított koordináták tetszőleges rendszere, amely bármikor paraméterezi a rendszer lehetséges geometriai pozícióinak terét (így ezeknek a koordinátáknak a használata teljes mértékben figyelembe veszi a rendszerre szabott geometriai összefüggéseket);

G_{1},...,G_{n}

- "általánosított erők" - együtthatók az aktív erők elemi munkájának kiterjesztésében egy tetszőleges virtuális elmozdulásra :

\delta {\mathbf {r}}=(\delta {\mathbf {r}}_{1},...,\delta {\mathbf {r}}_{N})

\delta A=\mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {r} _{1}+\ldots +\mathbf {F} _{N}\delta \mathbf {r} _{N }=G_{1}\delta q_{1}+\ldots +G_{n}\delta q_{n}

(4) az úgynevezett „gyorsulási energia”, a (3) képletben az érték az idő, az általánosított koordináták és ezek I. és 2. rendű deriváltjainak függvénye.

S={\frac {1}{2}}\sum _{{\nu =1}}^{{N}}m_({\nu }}{\mathbf {{\ddot {r}}}}_ {{\nu }}^{2}

S

Nem holonómikus esetben az Appel-egyenletek gyakorlatilag azonos alakúak (3), azonban ebben az esetben a képletek nem általánosított koordinátákat tartalmaznak, hanem pszeudo-koordinátákat, amelyeket a következőképpen vezetünk be:

(5) .

{\pont {\pi }}_{k}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{{ik}}{\pont {q}}_{i}+\lambda _ {k},\quad k=1,...,ng

Ezekben a jelölésekben a változó neve feletti pont nem az idő függvényében történő differenciálás műveletét jelöli, hanem egyetlen változónév része. A változó , amelynek időderiváltája egybeesne a rendszer bármely mozgási útvonalára vonatkozó írott kifejezéssel, nem biztos, hogy létezik, ezért pszeudováltozónak (vagy pszeudokoordinátának) nevezzük. Minden további képlet tartalmazni fogja vagy származékait (legalább elsőrendű), vagy differenciálokat, így pszeudo-lényege semmilyen módon nem fog megnyilvánulni. $\pi _{k}$ $\pi _{k}$

A és együtthatók a pontok idejétől és koordinátáitól függhetnek. Ezen túlmenően teljesíteniük kell azt a feltételt is, hogy az (5) és (2) egyenletek által alkotott lineáris rendszer változóinak együtthatói mátrixának determinánsa (általánosított koordinátákkal írva) ne tűnjön el. $\lambda _{{ik}}$ $\lambda _{{i}}$ ${\pont {q}}_{i}$

Nem holonom rendszer esetén az Appel-egyenletek a következőképpen alakulnak:

(6)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {\pi }}_{{k}}}}=G_{{k}},\quad k=1,...,ng

ahol

n=3N-d

a rendszer geometriai szabadságfokainak száma;

\pi _{1},...,\pi _{{ng}}

— pszeudo-koordinátarendszer;

G_{1},...,G_{{ng}}

- "általánosított erők" - együtthatók az aktív erők elemi munkájának kiterjesztésében: ;

{\displaystyle \delta A=G_{1}\delta \pi _{1}+\ldots +G_{n}\delta \pi _{ng))

az S függvény megegyezik a (4)-ben szereplővel, de változókban van kifejezve (a változók jelölésében csak az egyik pont az időderivált!).

t,q_{1},...,q_{n},{\pont {\pi }}_{1},...,{\pont {\pi }}_{{ng}},{\ ddot {\pi }}_{1},...,{\ddot {\pi }}_{{ng}}

{\dpont {\pi }}_{i}

Ahhoz, hogy a rendszer teljes mozgásegyenletrendszerét megkapjuk, hozzá kell adni a kinematikai kényszerek (2) egyenleteit és az (5) pszeudokoordináta-képleteket az Appel-egyenletekhez (6).

Jegyzetek

↑ Appell, P. "Sur une forme générale des équations de la dynamique." (francia) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1900. - 1. köt. 121 . — P. 310— ? .

Irodalom

P. Appel publikációi ebben a kérdésben

További olvasnivalók

Beryozkin E. N. Az elméleti mechanika tanfolyama - 2. kiadás, felülvizsgálva és kiegészítve - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója - 1974, 645 p.