Három pillanat egyenlete

A három nyomaték egyenlete nyomatékszámítási egyenlet egy folytonos többfesztávú gerenda hajlítási problémájában [1] .

Ismeretes, hogy a gerenda további támasztékok jelenlétében statikailag határozatlanná válik . Az ilyen gerendák kiszámításának egyik módszere az erő módszer . Ezzel a módszerrel a három nyomaték egyenlete származtatható [2] :

M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left( {\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}} }\jobb).

Itt van az i -edik statikusan meghatározható nyaláb nyomaték diagramjának területe, az i - edik diagram súlypontjának távolsága a sugár bal végétől, a távolság a súlyponttól az i -edik diagramon a gerenda jobb végéhez az i -edik gerenda hossza . ${\displaystyle \Omega _{i))$ $a_{i}$ $kettős}$ ${\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i))$

A három nyomaték egyenletének levezetése előírja, hogy a csuklópántok támasztékokra történő bevezetése után statikailag meghatározott gerendarendszert kapunk, amelyek mindegyike egyszerű gerenda, a végén támasztékokkal. A módszerben ismeretlen erők független gerendák végein fellépő nyomatékok. $n$

Történelem

A folytonos gerendák számítására szolgáló egyenletet először Bertot hídépítő és vasúti mérnök alkalmazta 1855 -ben [3] . Magát a módszert korábban (1849) használták Asnières-ben ( Párizs külvárosa , ma Asnières-sur-Seine , fr. Asnières-sur-Seine ) a Szajna hídjának rekonstrukciója során, de Clapeyron publikálta ben . A Tudományos Akadémia eljárásait csak 1857-ben. Tehát Mivel a támaszok feletti ismeretlen momentumokkal rendelkező alaprendszer gondolatát először Clapeyron fogalmazta meg, a három momentum egyenlete az ő nevéhez fűződik [4] . A folytonos gerendák elméletét Otto Mohr munkái fejlesztették tovább , aki általánosította az elméletet arra az esetre, amikor a támasztékok különböző magasságban helyezkednek el (1860).

Pályázati eljárás

A probléma három momentum egyenletével történő megoldásának eljárása a következő.

1 . A gerendát külön részekre (egyszerű gerendákra) vágják további belső csuklópántokkal a támasztékok rögzítési pontjain.

A kialakult kötések reakcióinak megnevezései: - momentumok . ${\displaystyle M_{0},M_{1},...,M_{n))$

2 . A fesztávok (a gerenda támaszok közötti szakaszai) számozottak. A járatok száma . A bal oldali konzol nulla fesztávnak számít, a jobb oldalon a szám szerepel . Feszítési hosszok: , . $n$ $n+1$ $l_{i}$ $i=0,...,n+1$

3 . A konzolos részek egyensúlyi állapotából határozzák meg a és a nyomatékokat . A fennmaradó momentumok ismeretlenek a három momentum egyenletrendszerében. $M_{0}$ $M_{n}$ $n-1$

4 . A nyomatékok és a nyíróerők diagramjai a fesztávolságban és a konzolokban (ha vannak) a gerendák külső terhelés hatására készülnek. Minden fesztáv egy különálló statikailag meghatározott gerenda. $M_{p}$ $Q_p$

5 . Kiszámítjuk a nyomatékdiagramok területeit fesztávban , valamint ezeknek a területeknek a súlypontjaitól a megfelelő fesztáv bal ( ) és jobb oldali ( ) támaszai közötti távolságokat. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $i=1,...,n$ $a_{i}$ $kettős}$

6 . A külső terhelésből származó nyomatékok diagramjaihoz hozzáadjuk a három nyomaték egyenletrendszerének megoldását. Az így kapott diagram a nyomatékok diagramja egy folytonos sugárban.

Példa

Szerkesszünk pillanatrajzot egy 19 méter hosszú, négy támasztékkal ellátott folytonos gerendában (1. ábra). KN/m, kN/m megosztott terhelés és kN koncentrált erő hat a gerendára. $q_{1}=10$ $q_{2}=12$ $P=9$

Rizs. egy

Konzolhossz: m Fesztávhosszok: m Az erőmódszer fő rendszerét a támasztékok fölé csuklópántok bevezetésével kapjuk (2. ábra). A és a nyomatékok ismert mennyiségek és a konzolok egyensúlyi állapotából határozhatók meg. Itt nincs megfelelő konzol, . A bal oldali konzolhoz . $l_{0}=4$ $l_{1}=l_{2}=l_{3}=5$ $M_{0}$ $M_{3}$ $M_{3}=0$ $M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$

Rizs. 2

A fő (statikailag meghatározott) rendszer független gerendáiban külső terhelés nyomaték diagramjait építjük fel (3. ábra). Sűrített szálra építünk diagramokat (a gépészetben megszokott módon; az építőiparban és az építészetben diagramokata pillanatok általában egy kifeszített szálra épülnek).

Rizs. 3

Felírjuk három momentum egyenletét:

$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1} /l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),$

$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2} /l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).$

Itt oldjuk meg a kNm, kNm egyenletrendszert . Ezekből a pillanatokból diagramot építünk (4. ábra). $\Omega _{1}=10,8\cdot 5/2=27,$ $a_{1}=(2+5)/3=2,333,$ $\Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,$ $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.$ $M_{1}=7,301$ $M_{2}=-39,325$

Rizs. négy

A terhelésből (3. ábra) és a nyomatékokból (4. ábra) diagramokat adunk (pontok szerint). Megkapjuk a nyalábban lévő nyomatékok diagramját (5. ábra).

Rizs. 5

A módszer nyilvánvaló előnye a feladat lineáris egyenletrendszerének mátrixának egyszerűsége. Ez a mátrix háromszögű , ami lehetővé teszi különféle egyszerűsített numerikus megoldási sémák alkalmazását.

Jegyzetek

↑ Kirsanov M. N. . Juhar és juhar. A mechanika problémáinak megoldásai. - Szentpétervár. : Lan, 2012. - 512 p. — ISBN 978-5-8114-1271-6 . - S. 179-181.
↑ Feodosiev V.I. Az anyagok szilárdsága. - M. : Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó, 1960. - 536 p. - S. 217.
↑ Bernstein S.A. Esszék a szerkezeti mechanika történetéről. - M . : Állami Építőipari és Építészeti Irodalmi Kiadó, 1957. - 236 p. - S. 209.
↑ Timosenko S. P. . Az anyagok szilárdság tudományának története. 2. kiadás - M. : URSS, 2006. - 536 p. — ISBN 5-484-00449-7 . - S. 176.

Irodalom

Kiselev V. A. . Szerkezeti mechanika. Általános tanfolyam. - M . : Stroyizdat, 1986. - 520 p.
Gorshkov A. G., Troshin V. N., Shalashilin V. I.. Az anyagok szilárdsága. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 544 p. — ISBN 5-9221-0181-1 .