Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Az univerzális trigonometrikus helyettesítés , amelyet az angol irodalomban Karl Weierstrass után Weierstrass- helyettesítésnek neveznek, az integráció során a trigonometrikus függvények racionális függvényeinek antideriváltjainak , határozott és határozatlan integráljainak megtalálására használják . Az általánosság elvesztése nélkül ebben az esetben az ilyen függvényeket szinusz és koszinusz racionális függvényeinek tekinthetjük. A helyettesítés a félszög érintőjét használja .

Csere

Tekintsük a szinusz és koszinusz antiderivatív racionális függvényének megtalálásának problémáját.

Helyettesítsük a sin x , cos x és a dx differenciál függvényeket a t változó racionális függvényeivel, szorzatuk pedig a dt differenciált a következőképpen: [1]

{\begin{aligned}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}\\[8pt]dx&={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}\end{igazított}}

az intervallumban lévő x értékekre

-\pi <x<\pi .

A jelölés bevezetése

Feltételezzük, hogy a t változó egyenlő egy félszög érintőjével:

t=\operátornév {tg}{\frac {x}{2}}.

A − π < x < π intervallumban ez azt adja

x=2\operatorname {arctg} (t),

és a differenciálás után azt kapjuk

dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}.

A félszög érintőjének képlete a szinuszra adja meg

{\begin{aligned}\sin x=\sin \left(2\operatorname {arctg}(t)\right)&=2\sin(\operatorname {arctg}(t))\cos(\operatorname {arctg} (t))\\[6pt]&=2\,{\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2))))}\,{\frac {1}{{\sqrt {1 +t^{2}}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\end{igazított}}

koszinuszra pedig a képlet adja

{\begin{aligned}\cos x=\cos \left(2\operatorname {arctg}(t)\right)&=\cos ^{2}(\operátornév {arctg}(t))-\sin ^{ 2}(\operátornév {arctg}(t))\\[6pt]&=\left({\frac {1}({\sqrt {1+t^{2))))}\jobbra)^{2 }-\left({\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2}}}}}\right)^{2}={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}.\end{igazított}}

Példák

Első példa

Keressük meg az integrált

\int {\frac {1}{3-5\cos x}}\,dx.

A Weierstrass-helyettesítést használva azt kapjuk, hogy

\int {\frac {1}{3-5\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)))\cdot {\frac {2\ ,dt}{1+t^{2}}}=\int {\frac {dt}{4t^{2}-1}}=\int {\frac {dt}{(2t-1)(2t+1 )}}.

Az utolsó integrál kiszámításához a törtek kiterjesztését használjuk :

{\begin{aligned}&{}\quad \int \left({\frac {1/2}{2t-1}}-{\frac {1/2}{2t+1}}\,\right) dt\\[6pt]&={\frac 14}\ln \left|2t-1\right|-{\frac 14}\ln \left|2t+1\right|+{\text{constant))= {\frac 14}\ln \left|{\frac {2t-1}{2t+1}}\right|+{\text{constant}}\\[6pt]&={\frac 14}\ln \ bal|{\frac {2\operatorname {tg}\left({\frac x2}\right)-1}{2\operatorname {tg}\left({\frac x2}\right)+1}}\right |+{\text{constant}}.\end{aligned}}

Továbbá a félszög érintő képlet szerint tg( x / 2) helyettesíthetjük sin x / (1 + cos x ), majd kapjuk

{\frac 14}\ln \left|{\frac {2\sin x-1-\cos x}{2\sin x+1+\cos x}}\right|+{\text{constant)),

vagy a tg( x /2) -t is helyettesíthetjük (1 − cos x )/sin x -re .

Második példa: határozott integrál

A határozott és határozatlan integráció közötti különbség az, hogy a határozott integrál számításakor nem kell a t változóból kapott függvényt visszaváltani az x változóból származó függvényre , ha helyesen változtatjuk meg az integráció határait.

Például,

\int _{0}^{{\pi /6}}{\frac {1}{5+4\sin x}}\,dx=\int _{0}^{{2-{\sqrt {3 }}}}{\frac {1}{5+4\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}}\,{\frac {2\,dt}{ 1+t^{2}}}

Ha x 0-ról π /6-ra változik, sin x 0-ról 1/2-re változik. Ez azt jelenti, hogy a sinnel egyenlő 2 t /(1 + t 2 ) érték 0-ról 1/2-re változik. Ekkor megtalálhatjuk az integráció határait a t változó felett :

{\frac {2t}{1+t^{2}}}={\frac 12},

az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2-vel és (1 + t 2 ) -vel, így kapjuk:

1+t^{2}=4t.

A másodfokú egyenlet megoldásával két gyöket kapunk

t=2\pm {\sqrt {3)).

Felmerül a kérdés: e két gyökér közül melyik alkalmas a mi esetünkre? A viselkedés alapján megválaszolható

\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}

x függvényében és t függvényében . Ha x értéke 0-ról π -re változik , a sin x függvény 0-ról 1-re, majd vissza 0-ra változik. Ez a függvény kétszer megy át az 1/2 értéken - 0-ról 1-re és 1-ről 0-ra való visszaváltáskor. t 0-ról ∞-ra változik, a 2 t /(1 + t 2 ) függvény 0-ról 1-re változik (amikor t = 1), majd vissza 0-ra. 0-ról 1-re változtatja az 1/2 értéket, és amikor visszaváltás: először t = 2 − √3-nál, majd ismét t = 2 + √3-nál.

Egyszerű algebrai transzformációk elvégzése után megkapjuk