Az univerzális trigonometrikus helyettesítés , amelyet az angol irodalomban Karl Weierstrass után Weierstrass- helyettesítésnek neveznek, az integráció során a trigonometrikus függvények racionális függvényeinek antideriváltjainak , határozott és határozatlan integráljainak megtalálására használják . Az általánosság elvesztése nélkül ebben az esetben az ilyen függvényeket szinusz és koszinusz racionális függvényeinek tekinthetjük. A helyettesítés a félszög érintőjét használja .
Tekintsük a szinusz és koszinusz antiderivatív racionális függvényének megtalálásának problémáját.
Helyettesítsük a sin x , cos x és a dx differenciál függvényeket a t változó racionális függvényeivel, szorzatuk pedig a dt differenciált a következőképpen: [1]
az intervallumban lévő x értékekre
Feltételezzük, hogy a t változó egyenlő egy félszög érintőjével:
A − π < x < π intervallumban ez azt adja
és a differenciálás után azt kapjuk
A félszög érintőjének képlete a szinuszra adja meg
koszinuszra pedig a képlet adja
Keressük meg az integrált
A Weierstrass-helyettesítést használva azt kapjuk, hogy
Az utolsó integrál kiszámításához a törtek kiterjesztését használjuk :
Továbbá a félszög érintő képlet szerint tg( x / 2) helyettesíthetjük sin x / (1 + cos x ), majd kapjuk
vagy a tg( x /2) -t is helyettesíthetjük (1 − cos x )/sin x -re .
A határozott és határozatlan integráció közötti különbség az, hogy a határozott integrál számításakor nem kell a t változóból kapott függvényt visszaváltani az x változóból származó függvényre , ha helyesen változtatjuk meg az integráció határait.
Például,
Ha x 0-ról π /6-ra változik, sin x 0-ról 1/2-re változik. Ez azt jelenti, hogy a sinnel egyenlő 2 t /(1 + t 2 ) érték 0-ról 1/2-re változik. Ekkor megtalálhatjuk az integráció határait a t változó felett :
az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2-vel és (1 + t 2 ) -vel, így kapjuk:
A másodfokú egyenlet megoldásával két gyöket kapunk
Felmerül a kérdés: e két gyökér közül melyik alkalmas a mi esetünkre? A viselkedés alapján megválaszolható
x függvényében és t függvényében . Ha x értéke 0-ról π -re változik , a sin x függvény 0-ról 1-re, majd vissza 0-ra változik. Ez a függvény kétszer megy át az 1/2 értéken - 0-ról 1-re és 1-ről 0-ra való visszaváltáskor. t 0-ról ∞-ra változik, a 2 t /(1 + t 2 ) függvény 0-ról 1-re változik (amikor t = 1), majd vissza 0-ra. 0-ról 1-re változtatja az 1/2 értéket, és amikor visszaváltás: először t = 2 − √3-nál, majd ismét t = 2 + √3-nál.
Egyszerű algebrai transzformációk elvégzése után megkapjuk
A teljes négyzetet kiválasztva kapjuk
Vezessünk be egy új változót
Innen
nál nél
és az integráció határa az lesz
mivel fentebb kimondták
Aztán az integráció ad
Az utolsó lépésben a jól ismert trigonometrikus azonosságot használjuk
A Weierstrass-helyettesítés használható a szekáns integráljának megkeresésére:
Nekünk van
Az első példához hasonlóan a tört kiterjesztését használjuk:
Két komponens
rendre a szám valós és képzeletbeli részei
(feltételezzük, hogy t valós).
Hasonló képletek léteznek hiperbolikus függvényekre is . Hadd
Akkor: