Tétel az akkordszakaszok szorzatáról

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az akkordszegmensek szorzatára vonatkozó tétel a kör két egymást metsző húrja által alkotott szakaszok arányát írja le . A tétel kimondja, hogy az egyes húrok szakaszainak hosszának szorzata egyenlő.

tétel állítása

Két , az S pontban metsző AC és BD akkord esetén a következő egyenlőség érvényesül:

Ez fordítva is igaz, vagyis ha két , az S pontban metsző AC és BD szakaszra teljesül a fenti egyenlőség, akkor A , B , C és D végeik ugyanazon a körön fekszenek. Más szóval, ha az ABCD négyszög átlói az S pontban metszik egymást, és a fenti egyenlőség teljesül, akkor ez a négyszög be van írva .

Fokpont

Az akkordtételben szereplő két szorzat értéke az S metszéspont távolságától függ a kör középpontjától, és az S pont fokszámának abszolút értékének nevezzük . Pontosabban ez a következőképpen fejezhető ki:

ahol r a kör sugara, d pedig a kör középpontja és az S metszéspont távolsága . Ez a tulajdonság közvetlenül következik a húrtétel alkalmazásából a harmadik húrra az S ponton és az M kör középpontján keresztül (lásd az ábrát).

A szekáns és érintő tétel , valamint a két szekáns tétel mellett a metsző akkordtétel a két metsző egyenesről és egy körről szóló általánosabb tétel három fő esetének egyike - a ponthatványtétel .

A tétel bizonyítása

A tétel hasonló háromszögekkel igazolható ( a beírt szögtételen keresztül ). Tekintsük az ASD és BSC háromszögek szögeit :

(a szögek az AB húr alapján) (a szögek akkord CD alapján) (függőleges sarkok)

Ez azt jelenti, hogy az ASD és a BSC háromszögek hasonlóak, ezért:

A tétel interaktív illusztrációja és bizonyítása látható [1] [2] .

Jegyzetek

  1. Amit Quackenbush. Metsző akkordok tétel  . GeoGebra . Letöltve: 2021. április 30. Az eredetiből archiválva : 2021. január 21.
  2. Josiah Fan Ern Wei. Metsző akkordtétel  . GeoGebra . Letöltve: 2021. április 30. Az eredetiből archiválva : 2021. január 21.

Irodalom