Pizzaosztás tétel

A pizzaosztás tétele kimondja , hogy a kör meghatározott módon történő vágásával kapott két terület területe egyenlő .

A tétel neve a klasszikus pizzavágási technikát tükrözi . A tétel azt mutatja, hogy ha ketten így vágják fel a pizzát, és felváltva veszik a szeleteket, akkor mindenki ugyanannyi pizzát kap.

tétel állítása

Legyen p a korong belső pontja, n pedig 4 és legalább 8 többszöröse. Vágjuk fel a lemezt n egyenlő szögű ( radiánnal egyenlő) szektorra a p ponton átmenő egyenesek mentén . A szektorokat az óramutató járásával megegyező vagy ellentétes sorrendben számozzuk. Ekkor a pizza tétel kimondja, hogy:

A páratlan szektorok területének összege egyenlő a páros szektorok területének összegével [2] .

Történelem

A pizzaosztás tételét eredetileg Leslie Upton ( eng.  LJ Upton ) javasolta kihívási problémaként [2] . A problémára Michael  Goldberg publikált megoldása algebrai kifejezések közvetlen alkalmazását használta a szektorok területére.

L. Carter ( angol.  Larry Carter ) és S. Wagon ( angol.  Stan Wagon ) [1] alternatív bizonyítást adott az kivágásával . Megmutatták, hogyan lehet szektorokat kisebb darabokra vágni úgy, hogy a páratlan szektorban minden darabhoz legyen egy páros szektorban egybevágó darab, és fordítva. G. Frederickson ( eng. Greg Frederickson ) [3] minden esetre (amelyben a szektorok száma 8, 12, 16, ... ) adott egy boncolási bizonyíték családot.  

Általánosítások

Az a követelmény, hogy a szektorok száma négy többszöröse legyen – ezt Don Coppersmith mutatta meg ; a lemez négy szektorra, vagy néggyel nem osztható szektorra osztása általában nem ad egyenlő területeket. Marby ( angol.  Rick Mabry ) és Dierman ( angol.  L. Paul Deiermann ) [4] Carter és Wagon [5] megoldására válaszolt , pontosabb változatát adva a tételnek , amely meghatározza, hogy a szektorok közül melyik lesz nagy terület , ha a területek nem egyenlőek. Különösen, ha a szektorok száma 2-höz hasonlítható ( mod 8), és egyik vágás sem megy át a lemez közepén, akkor a középpontot tartalmazó részhalmaz kisebb területtel rendelkezik; míg abban az esetben, ha a szektorok száma 6-hoz hasonlítható (mod 8), és egyik vágás sem megy át a középponton, a középpontot tartalmazó darabhalmaz nagy területű. Páratlan számú szektor lehetetlen egyenes vágással, és a közepén átvágva mindkét szektorkészlet egyenlő a területtel, függetlenül a szektorok számától.

Marby és Dyerman [4] is észrevette, hogy abban az esetben, ha a pizza egyenlően van elosztva, akkor a széle is egyenlően oszlik el (a széle vagy a pizza kerülete, vagy a kör határa közötti terület (pizza) ) és egy kisebb, azonos középpontú kört, feltéve, hogy az osztási pont ebben a kisebb körben van), mivel a két kör által határolt korongok egyenlően oszlanak el, így a különbségük is egyenlő lesz. Ha azonban a pizza nem egyenletesen van elosztva, akkor az evő, aki a legtöbbet kapja a pizzából, kap egy kisebb szeletet a széléből.

Amint azt Hischhorns [6] megjegyezte , a pizza egyenlő felosztása a feltét egyenlő felosztását is eredményezi, ha a feltétet egy körben osztják el (nem feltétlenül koncentrikusan a pizzakörrel), amely tartalmazza a szektorokra osztás p középpontját.

A pizza tétel n-dimenziós labdára általánosítását javasolta Yu. A. Brailov munkája: egy hipersíkok halmaza, amely hasonló tulajdonsággal rendelkezik, egy B_n típusú véges reflexiós csoportnak felel meg [7] .

Kapcsolódó eredmények

A Hirshhorns [6] kimutatta, hogy a pizza tételben leírtak szerint n egyenlő szögű szektorra vágott pizza, ahol n osztható néggyel, egyenlően osztható n /4 ember között. Például egy 12 szektorra osztott pizza egyenlően osztható három ember között. Ahhoz azonban, hogy egy pizzát öt ember között oszthassunk el, a pizzát 20 szektorra kell osztani.

Cybulka, Kinchl és munkatársai [8] és Knauer, Micek, Jokordt [9] az ingyenes pizzaszeletek kiválasztásának játékát tanulmányozták a többség garantálása érdekében, ezt a problémát Dan Brown és Peter Winkler javasolta . Az általuk vizsgált problémaváltozatban a pizza sugárirányban van felosztva (a szektorok szögeinek egyenlőségére nincs garancia), és a két étkező felváltva választ ki olyan pizzaszeleteket, amelyek szomszédosak a már elfogyasztott szektorokkal. Ha két ebédlő próbálja maximalizálni az elfogyasztott pizza mennyiségét, akkor az első szeletet betöltő vendég a teljes pizza 4/9-ét garantálhatja magának, és vannak pizzaszeletek, ahol többet nem kaphat. A tisztességes felosztás vagy pite-osztás probléma olyan hasonló játékokra vonatkozik, amelyekben a különböző játékosok eltérő kritériumokkal mérik a részesedésük nagyságát. Például az egyik evő jobban szereti a pepperonit , míg a másik a sajtot [10] .

Lásd még

A pizza felosztásához közel álló egyéb matematikai számítások közé tartoznak a lusta beszállítói  sorozatok, a közvetlen vágással elérhető pizzaszeletek maximális számát reprezentáló egész számok sorozata, valamint a háromdimenziós objektumok kivágására vonatkozó szendvicstétel . -dimenziós változata, amiből az következik, hogy a pizza még ronda is az alakzat a terület mentén és a széle mentén egyszerre egy vágással kettéosztható, a tétel háromdimenziós változatából pedig az következik, hogy van egy sík , amely egyenlően osztja el az alapot és a tölteléket.

Jegyzetek

  1. ↑ 12 Carter, Wagon, 1994a .
  2. ↑ 12 Upton , 1968 .
  3. ↑ Frederickson, 2012 .
  4. ↑ 1 2 Mabry, Deiermann, 2009 .
  5. ↑ Carter, Wagon, 1994b .
  6. ↑ Hirschhorns 12. , 1999 .
  7. ↑ Brailov Yu. A. Reflexiós csoportok és a pizza tétel  // Algebra i Analiz. - 2021. - T. 33 , sz. 6 . - S. 1-8 . Az eredetiből archiválva : 2021. november 28.
  8. ↑ Cibulka, Kynčl et al., 2010 .
  9. ↑ Knauer, Micek, Ueckerdt, 2011 .
  10. ↑ ON Musina, E. F. Ott. Új funkcionális termékek - lágy sajt "Globozum" és félkemény sajt "Pladolens" // Sajt- és vajkészítés. - 2019. - Kiadás. 2 . — S. 14–16 . — ISSN 2073-4018 . - doi : 10.31515/2073-4018-2019-2-14-16 .

Irodalom