Fatou-tétel

Tegyük fel, hogy van egy függvényünk , amely analitikus az egységkörben . Bizonyos esetekben meg kell teremteni azokat a feltételeket, amelyek mellett analitikusan folytatható az egységkörig . $f$ $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\partial \Delta$

Ehhez a következő módszert alkalmazzuk - egy függvény viselkedésének tanulmányozása az alak körein . Ehhez bevezetünk egy segédfüggvényt . Látható, hogy az on függvény viselkedése a függvénycsalád viselkedésétől függ, mint . A funkcionális elemzés terminológiáját használva most már magát a tételt is megfogalmazhatjuk: ${\displaystyle {\partial \Delta }_{r}=\{z:|z|=r<1\))$ $f_{r}(e^{i\varphi })=f(re^{i\varphi })$ $f$ $\partial \Delta$ $\{f_{r}\}$ $r\to 1$

Tétel

Legyen analitikus a Hardy-normában : $f$ $\Delta$

$\lVert f\rVert _{H^{p}}=\sup _{0<r<1}\lVert f_{r}\rVert _{L^{p}(\partial \Delta )}< \infty$

Ekkor a függvénycsalád szinte mindenhol pontszerű konvergenciája lesz valamilyen függvényhez . $\{f_{r}\}$ $f_{1}\in L^{p}(\partial \Delta )$