Picard-tétel (integrálegyenletek)

Picard-tétel (integrálegyenletek) - az 1. típusú Fredholm -féle integrálegyenlet megoldásának létezéséről és egyediségéről szóló tétel.

Az első típusú integrál Fredholm-egyenlet zárt szimmetrikus maggal ( forma ), ahol akkor és csak akkor van egyedi megoldása a függvényosztályban , ha a sorozat konvergál. $K(t,s)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $f(t)\in L_{{2}}[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Magyarázatok

A tétel megfogalmazásában a kernel karakterisztikus számai a függvény Fourier - együtthatói a kernel sajátfüggvényeihez képest : . A szimmetrikus kernelt zártnak nevezzük, ha minden függvény , amely kielégíti az egyenlőséget , szinte mindenhol nullával egyenlő az intervallumban . Zárt kernel esetén a sajátfüggvényei ortogonális teljes függvényrendszert alkotnak. $\lambda _{{k}}$ $K(t,s)$ $f_{k}=(f,\phi _{{k}})$ $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $\phi _{{n}}(t)=\lambda _{{n}}\int \limits _{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi _{{n}} (s)ds$ $K(t,s)$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sigma (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ $[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy van megoldása az egyenletnek . $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$

Keressük meg a függvény Fourier-együtthatóit ennek a kernelnek a sajátfüggvényeihez képest : . $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $f_{{n}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(t)\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}} ^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt =\int \limits _{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t) dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s) \phi (s)ds$

Itt a második egyenlőségben azt használjuk, hogy a tétel feltétele miatt a negyedik egyenlőségben, amely a kernel szimmetriája miatt . $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{ {n}}(s)$

Az egyenlőség átírható . Ebből következik, hogy a számok a függvény Fourier-együtthatói . A matematikai elemzés jól ismert tétele értelmében ezen együtthatók négyzeteinek sorozata konvergens. $f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi(s) ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Ellenkezőleg, tegyük fel, hogy a sorozatok konvergálnak. Ekkor a Riesz-Fisher-tétel alapján létezik egy olyan egyedi függvény , amelynél a számok a függvényrendszerhez viszonyított Fourier-együtthatók , vagyis az egyenlőségek érvényesek mindenkire . Ez a függvény kielégíti az integrál egyenletet , mivel a függvények felépítéséből adódóan ugyanazokkal a Fourier-együtthatókkal rendelkeznek a kernel sajátfüggvényeinek teljes rendszeréhez képest . Így a és a függvények megegyeznek a metrikában . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $n(n=1,2,...)$ $\phi (t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $\phi (t)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $K(t,s)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $L_{{2}}[a,b]$

Irodalom

Krasznov M.L. Integrálegyenletek, Moszkva, Nauka, 1975.