Desargues involúciós tétele
Desargues involúciós tétele (TDI) a projektív geometria egyik tétele
A projektív involúció meghatározása és tulajdonságai
Definíció
A leképezést projektív involúciónak nevezzük, ha megőrzi a kettős (vagy összetett) kapcsolatokat.
Tulajdonságok
- A projektív involúció három pontból egyedileg visszaállítható.
- Az If a vonal önmagába való projektív leképezése, és egy projektív involúció.
- Ha - projektív involúció - inverzió valamilyen középponttal + lehetséges szimmetria -hoz képest .
- Ha egy kúp projektív involúciója , akkor ez egy központi vetület.
Desargues involúciós tételének állítása
Adott négy pont általános helyzetben (nincs 3 pont ugyanazon az egyenesen), és egy egyenes, amely nem megy át rajtuk. Hagyjuk metszeni a pontokban lévő egyeneseket és a pontokon átmenő kúpot . Ezután egy projektív involúció van a vonalon
Desargues involúciós tételének bizonyítása
Tekintsünk egy olyan projektív transzformációt , amely (ilyen transzformáció létezik, mivel egy egyenes projektív transzformációját három, a leképezésnek megfelelő pontpár megadásával határozzuk meg. Ezt az állítást gyakran nevezik a projektív geometria alaptételének). Ekkor az 1. tulajdonságból következik, hogy egy projektív involúció . Bizonyítsuk be . Egy pontból négy pontot vetítünk egy kúpra , megkapjuk a kettős arányok egyenlőségét , majd ezeket a pontokat hátulról egy egyenesre vetítjük , megkapjuk . Most alkalmazzuk a transzformációt a kettõs relációra , azaz . A kapott egyenlőségből az következik, hogy .
![{\displaystyle [W,W';X,Z]=[W,W';B,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bf45c8f856c46f7905a18f110722f119a66b1c)
![{\displaystyle [W,W';X,Z]=[W,W';B,C]=[W,W';Z',X']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5e638c8b3d1a45cd88595c19f516677287d69e)
![{\displaystyle [W,W';Z',X']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a7743a724b3bffb1dcaafb5f1d3ec198e316f3)
![{\displaystyle [W,W';Z',X']=[W',W,f(Z'),X]=[W,W';X,f(Z')]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a4ef7e392fb36f61305d44a73bce44ab6b0c54)
![{\displaystyle [W,W';X,Z]=[W,W';X,f(Z')]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b86facaa26f9b4e93fa26336ec0b411990bdba4)
Az állítást hasonló módon bizonyítják. Így a tétel bizonyítva van.
TDI háromszöghez
Tekintsünk minden olyan kúpot, amely általános helyzetben három ponton halad át , egy pontban egy érintőt és egy tetszőleges egyenest, amely nem megy át ezeken a pontokon. Hagyja , hogy pontokban metszi , a kúpos pedig pontokban , akkor létezik projektív involúció
TDI, kettős
A négyszögbe kúp van beírva , . Egy pont a kúposon kívül van kiválasztva , nem pedig az egyeneseken . Ekkor létezik egy projektív involúció, amely az egyenes- és az érintőpárokat -ból kúposra cseréli . Ennek a tételnek az érvényessége a dualitás projektív elvéből következik .
