Maclaurin szferoid

A Maclaurin szferoid egy lapos gömb , amely akkor keletkezik, amikor egy egyenletes sűrűségeloszlású, öngravitáló folyadéktest állandó szögsebességgel forog. A szferoidot Colin Maclaurin skót matematikusról nevezték el , aki 1742-ben javasolta a Földnek ezt az alakját [1] . Valójában a Föld sokkal kevésbé lapos, mivel nem homogén, és sűrű vasmaggal rendelkezik. A Maclaurin-gömböt tartják az egyensúlyi ellipszoid forradalom legegyszerűbb modelljének, mivel állandó sűrűségű.

Maclaurin képlete

Egy nagyobb féltengellyel és egy kisebb féltengellyel rendelkező lapos gömb esetében a szögsebességet a Maclaurin képlet adja meg $a$ $c$ $\Omega$

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}} (3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},

ahol a gömb meridionális szakaszának excentricitása, a sűrűség, a gravitációs állandó . A képlet két lehetséges egyensúlyi alakot jósol meg -nál , az egyik egy gömb ( ), a másik egy lapos gömb ( ). $e$ $\rho$ $G$ $\Omega \rightarrow 0$ $e\rightarrow 0$ $e\rightarrow 1$

A maximális szögsebesség excentricitásnál jelentkezik , a maximális szögsebesség négyzetének értéke egyenlő -vel , vagyis e felett a sebesség felett nem létezik az egyensúlyi alak. Ez ellentmond a megfigyelési adatoknak. Az ellentmondás oka két irreális feltevés jelenléte lehet: az egyik az, hogy a sűrűségeloszlás egyenletes, a másik az, hogy a felület alakja egyszerű négyzet . $e=0{,}92995$ $\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$

A Maclaurin szferoid szögimpulzusát a $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a))))}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac { a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,

ahol a gömb tömege, az átlagos sugara, vagyis a gömbével azonos térfogatú gömb sugara. Egy egyszerűbb kifejezéssel [3] ${\displaystyle M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2))))$ ${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.

A gömb kinetikus energiája [3]

K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.

Fenntarthatóság

Egy 0,812670-nél nagyobb excentricitású Maclaurin-gömb [3] esetében az azonos szögimpulzusú Jacobi-féle triaxiális ellipszoid összenergiája kisebb. Ha egy ilyen ellipszoid viszkózus folyadékból áll, és nem tapasztal olyan zavarokat, amelyek megtörhetik a forgásszimmetriát, akkor kinyúlik, és Jacobi ellipszoid formáját ölti, miközben az energia egy része termikus formába kerül. Egy inviscid folyadékból származó hasonló szferoid esetében a perturbációk csillapítatlan oszcillációkat okoznak.

A 0,952887-nél nagyobb excentricitású Maclaurin-gömb [3] dinamikusan instabil. Még ha az objektum inviscid folyadékból áll is, és nem veszít energiát, a kis zavarok exponenciálisan növekednek. A dinamikus instabilitás világi instabilitást jelent [4] .

Jegyzetek

↑ Maclaurin C. Fluxionok traktátusa: Két könyvben. 1. évf. 1. Ruddimans, 1742.
↑ Chandrasekhar S. Az egyensúly ellipszoid alakjai. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
↑ 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Gravitáció : newtoni, poszt-newtoni, relativisztikus . - Cambridge University Press , 2014. - P. 102-104. — ISBN 1139952390 . Archiválva : 2017. október 23. a Wayback Machine -nál
↑ Lyttleton RA A forgó folyékony tömegek stabilitása . - Cambridge University Press , 1953. - ISBN 9781316529911 .