Mátrix nyom

A mátrix nyoma egy olyan művelet, amely a négyzetes mátrixok terét leképezi a mátrix definiálási mezőjébe (valós mátrixok esetén a valós számok mezőjébe, komplex mátrixok esetén a komplex számok mezőjébe ). A mátrix nyoma a mátrix főátlójának elemeinek összege, vagyis ha a mátrix elemei , akkor a nyoma . A nulla nyomvonalú mátrixokat tracelessnek nevezzük (az angol traceless vagy tracefree szóból ) [1] . $a_{{ij}}$ $A$ ${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A=\sum _{i}a_{{ii}}$

A matematikai szövegekben két elnevezés létezik a nyomkövetés műveletére: (az angol nyomból - nyom), és (ebből . Spur - nyom). $\mathop {\rm {tr))\;A$ ${\mathop {{\rm {Sp))))\;A$

A tenzorszámításban a második rangú (egyszer kovariáns és egyszer kontravariáns) tenzor nyoma az átlós elemeinek összege. Kovarianciától és kontravarianciától függetlenül a második rangú tenzor nyomát a metrikus tenzorral rendelkező tenzor kettős skalárszorzataként számítjuk ki, és ez az első invariáns : . ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$

Definíció

A négyzet méretű mátrix nyomát a következőképpen értjük: $A$ $n\szer n$

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{ n,n},$

hol vannak a főátló elemei : ${\displaystyle a_{i,i))$

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {piros}{\ ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {red}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\ szín {piros}{a_{i,i}}$ .

Tulajdonságok

Linearitás . ${\mathop {{\rm {tr))))\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop ({\rm {tr))))\;A+\beta {\mathop ({\ rm {tr}}}}\;B$
${\mathop {{\rm {tr))))\;(AB)={\mathop {{\rm {tr))))\;(BA)$ . Következmény: a nyom minden hasonló mátrixra ugyanaz: . $\mathop {\rm {tr)) \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr)) \;A$
${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , ahol az átültetési műveletet jelöli . $\mathrm{T}$
$\ln \det A={\mathop {{\rm {tr))))\;\ln A$ .
Ha az A és B mátrix tenzorszorzata , akkor . $A\otime B$ ${\mathop {{\rm {tr))))\;A\otimes B=({\mathop {{\rm {tr))))\;A)({\mathop {{\rm {tr)) }}\;B)$
Egy mátrix nyomvonala egyenlő a sajátértékeinek összegével .
A négyzetes mátrix determinánsa kifejezhető a mátrix azon hatványainak nyomaival, amelyek nem haladják meg a -t . Például . $n\szer n$ $n$ $\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mathop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mathop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mathop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mathop {{\rm {tr}}}}A^{3 }\jobb)$

Geometriai tulajdonság

${\mathop {{\rm {det))))(E+G\varepsilon )=1+{\mathop ({\rm {tr))))G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

ahol E az azonosságmátrix, ε egy infinitezimális szám. Azaz egy infinitezimális lineáris transzformáció kis paraméterében ennek a transzformációnak a generátorának nyomával arányos mértékben változtatja meg a térfogatot. Más szóval, egy ilyen transzformáció során a térfogatváltozás sebessége megegyezik a generátor nyomával.

Következmények:
- ${\mathop {{\rm {det}}}}\ {\mathop {{\rm {exp}}}}(G\alpha )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \alpha \$ kis α esetén
- Ahhoz, hogy az átalakítások ne változtassanak a hangerőn, elegendő, ha generátoraik nyomtalanok legyenek.

Lásd még

Nyomkövetés (térelmélet)

Jegyzetek

↑ Liszovszkij, Fedor Viktorovics. Új angol-orosz elektronikai szótár: két kötetben, körülbelül 100 000 kifejezésből és 7 000 rövidítésből . - Moszkva: ABBYY Press, 2009. - 2 kötet p. ISBN 9785391000051 , 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Trace of a square matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4