Parakompakt tér

A parakompakt tér egy olyan topológiai tér , amelybe bármely nyitott fedelet be lehet írni egy lokálisan véges nyitott fedelet.

Ugyanakkor: egy topológiai térben elhelyezkedő halmazcsaládot lokálisan végesnek nevezzük , ha minden pontnak van olyan környéke , amely a családnak csak véges elemhalmazát metszi ; egy halmazcsalád akkor van beírva egy halmazcsaládba, ha a család minden eleme benne van a család valamely elemében .) ${\mathcal {U}}$ $x$ $x$ $x\X-ben$ $x$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$

A parakompakt teret parakompakt Hausdorff-térnek nevezzük . A sokrétű elmélet egyik kezdeti követelménye a parakompaktság .

Minden Hausdorff parakompakt tér normális . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy parakompakt tereken egységnyi partíciókat hozzunk létre , tetszőleges megadott nyitott burkolat mellett.

Tulajdonságok

Parakompaktság jelenlétében a tér egyes helyi tulajdonságait szintetizálják és globálisan implementálják. Különösen,
- ha egy parakompakt tér lokálisan mérhető, akkor mérhető ;
- ha egy Hausdorff tér lokálisan Cech teljes és parakompakt, akkor Cech teljes .
A parakompaktságot nem öröklik tetszőleges alterek, de egy parakompakt tér minden zárt altere parakompakt tér.
Két parakompakt tér szorzata nem feltétlenül parakompakt tér.
A Hausdorff-terek osztályában
- Egy parakompakt tér inverz képe tökéletes leképezés mellett parakompakt tér,
- A parakompakt tér képe folyamatos zárt leképezés mellett parakompakt tér.
A parakompakt terek közé tartoznak különösen a Lindelöf terek . A pontszerű konvergencia topológiájával felruházott tetszőleges Tikhonov-téren az összes folytonos valós függvények tere esetében a parakompaktság Lindolöffel ekvivalens.
Ha egy Banach-teret a gyenge topológiában topológiailag generál valamilyen kompakt halmaz, akkor az parakompakt.
Minden metrizálható tér parakompakt (Stone-tétel).
- Egy parakompakt tér akkor és csak akkor metrizálható, ha megszámlálható rendű bázisa van, vagyis olyan bázis, amelynek bármely csökkenő elemsora tartalmaz tetszőleges pontot , szükségszerűen bázist képez abban a pontban. $x\X-ben$
Minden compacta parakompakt, de
- De nem minden lokálisan kompakt Hausdorff-tér parakompakt.

Kapcsolódó definíciók

A megszámlálhatóan parakompakt tér olyan topológiai tér, amelybe tetszőleges megszámlálható nyitott fedelet felírhatunk egy lokálisan véges nyitott fedővel.

A gyengén parakompakt tér (metakompakt, pontszerű parakompakt) egy olyan topológiai tér, amelybe tetszőleges nyitott fedőbe beleírható egy pontszerűen véges nyitott fedő.

Az erősen parakompakt (hipokompakt) tér olyan topológiai tér, amelybe tetszőleges nyitott fedelet beírhatunk csillagvéges nyitott fedővel.

A szubparakompakt tér (F σ -szitált) egy olyan topológiai tér, amelybe bármely nyitott fedőbe beírható egy zárt σ lokálisan véges fedele.

Irodalom

Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.