Útvonal (topológia)

A matematikában az X topológiai térben  lévő út egy folyamatos f leképezés az I = [0,1] egységintervallumból X -be.

Az út kezdőpontja f (0),  a végpontja f (1). Gyakran beszélünk "az x -től y -ig vezető útról ", ahol x és y  az út kezdő- és végpontja. Vegye figyelembe, hogy az elérési út nem csupán X -nek egy görbének "néző" részhalmaza, hanem paraméterezést is tartalmaz . Például az f ( x ) = x és g ( x ) = x 2 leképezés két különböző útvonalat jelent 0-tól 1-ig a valós egyenesen.

Egy hurok az X térben x ∈ X alapponttal egy x -ből x -be vezető út. A hurok definiálható f  : I → X leképezésként is, ahol f (0) = f (1), vagy folytonos leképezésként az S 1 egységkörtől X -ig.

Ez utóbbi abból következik, hogy S 1 akkor tekinthető I hányadosterének , ha 0-t 1-gyel azonosítjuk. Az X-ben lévő összes hurok halmaza egy teret alkot, amelyet az X tér hurokterének neveznek [1] .

Azt a topológiai teret, amelyben létezik egy tetszőleges két pontot összekötő út, útkapcsolatnak nevezzük . Bármely tér felosztható lineárisan összefüggő komponensek halmazára . Az X tér lineárisan összefüggő komponenseinek halmazát gyakran π 0 ( X ); -vel jelöljük.

A homotópiaelméletben fontos utak és hurkok is meghatározhatók hegyes terekben . Ha X egy topológiai tér, amelynek kitüntetett pontja x 0 , akkor az X -ben  lévő útvonal egy olyan út, amelynek kezdőpontja x 0 . Hasonlóképpen, az X  -beli hurok az x 0 -ban lévő hurok .

Útvonal homotópia

Az utak és hurkok központi vizsgálati tárgyai az algebrai topológia homotópiaelméletnek nevezett ágának . Az utak homotópiája pontosítja az út folyamatos deformációjának fogalmát, miközben megőrzi az út végeit.

Konkrétan az X-beli utak homotópiája az f t :  I → X útvonalak  családja, amelyet I indexel úgy , hogy

• f t (0) = x 0 és f t (1) = x 1 rögzítettek.
• az F ( s , t ) = f t ( s ) által adott F  : I × I → X leképezés folytonos.

Az f 0 és f 1 utakat homotópiának ( vagy pontosabban lineárisan homotopikusnak ) nevezzük, ha homotópiával kötik össze őket. Hasonlóképpen definiálhatunk egy hurokhomotópiát, amely megőrzi az alappontot.

A homotópia reláció egy topológiai térben lévő utak ekvivalencia relációja . Az f út ekvivalencia osztályát ebben a relációban f homotópia osztályának nevezik , és gyakran [ f ]-nek jelölik.

Útvonalak összetétele

Egy topológiai térben kézenfekvő módon lehetséges útvonal-kompozíciót alkotni. Legyen f  egy x -től y -ig tartó út és g  egy y -tól z -ig tartó út . Az fg útvonalat úgy határozzuk meg, mint azt az utat, amelyet először f , majd g átadásával kapunk :

Nyilvánvaló, hogy az út összetételét csak akkor határozzuk meg, ha az f végpont egybeesik a g kezdőponttal . Ha az x 0 pontban lévő hurkokat tekintjük , akkor az útvonal-összetétel bináris művelet .

Az útvonal-összetétel, ha definiálva van, a paraméterezés különbsége miatt nem asszociatív művelet . A homotópiáig azonban asszociatív . Vagyis [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Az útvonal-kompozíció egy csoport szerkezetét határozza meg az X -ben lévő homotop hurokosztályok halmazán x 0 alapponttal . Az így kapott csoportot X alapcsoportjának nevezzük , ahol az x 0 pont van megjelölve , és általában π 1 ( X , x 0 ) jelöléssel.

Az X-ben lévő útvonalat a [0, a ] intervallum X -be való folyamatos leképezéseként definiálhatjuk , ha a valós a ≥ 0. Az ilyen alakú f út hossza | f |: a . Az útvonal-összetétel ezután az előzőek szerint kerül meghatározásra, a következő változtatással:

Míg az előző definícióban f , g és fg hossza 1, ez a definíció | fg | = | f | + | g |. Az előbbi definícióban az asszociativitás megsértéséhez vezetett, hogy bár ( fg ) h és f ( gh ) azonos hosszúságúak voltak, mégpedig 1, de ( fg ) h felezőpontja g és h közé került , míg f felezőpontja ( gh ) f és g közé került . Az ( fg ) módosított definíciójában h és f ( gh ) azonos hosszúságúak, nevezetesen | f |+| g |+| h |, és ugyanazok a felezőpontok a (| f |+| g |+| h |)/2-ben ( fg ) h és f ( gh ). És még ezeknek is ugyanaz a paraméterezése.

Fundamental groupoid

Bármely X topológiai tér olyan kategóriát eredményez, amelynek objektumai X pontjai, és morfizmusai az útvonal homotópia osztályai. Mivel ebben a kategóriában minden morfizmus izomorfizmus , ez a kategória csoportoid , amelyet X alapcsoportoidának neveznek . Az ebbe a kategóriába tartozó hurkok endomorfizmusok (valójában mindegyik automorfizmus ). Az X -beli x 0 pont automorfizmuscsoportja egyszerűen az X  alapcsoportja . Az A- ban lévő pontokat összekötő utak homotópia osztályai segítségével X bármely A részhalmazán definiálhatunk egy fundamentális csoportoidot .

Irodalom

• Ronald Brown. Topológia és csoportoidok. - Deganwy, Egyesült Királyság, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

• May Péter. Az algebrai topológia tömör kurzusa. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. topológia. — 2ed. - NJ: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (A matematikai tanulmányok évkönyvei). — ISBN 9780691082066 .
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov. Elemi topológia. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

1. ↑ Adams, 1978 , p. 3.