Poisson folyamat

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Poisson-folyamat , Poisson- folyamat , Poisson-folyamat [1] homogén események közönséges folyama , amelynél az események száma az A intervallumban nem függ az események számától egyetlen olyan intervallumban sem, amely nem metszi A -t , és engedelmeskedik a Poisson-eloszlás . A véletlen folyamatok elméletében leírja a véletlenszerű események számát, amelyek állandó intenzitással fordulnak elő.

A Poisson-folyam valószínűségi tulajdonságait teljes mértékben a Λ(A) függvény jellemzi, amely egyenlő valamely csökkenő függvény A intervallumának növekedésével. Leggyakrabban a Poisson-áramlás pillanatnyi értéke a λ(t) paraméternek , amely egy olyan függvény, amelynek folytonossági pontjain egy áramlási esemény valószínűsége a [t,t+dt] intervallumban egyenlő λ( t)dt . Ha A egy [a,b] szakasz , akkor

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

Azt a Poisson-áramlást, amelyre λ(t) egyenlő a λ állandóval , a legegyszerűbb áramlásnak nevezzük λ paraméterrel . [2]

A Poisson-áramlásokat többdimenziós és általában bármilyen absztrakt térre definiáljuk, amelyben a Λ(A) mérték bevezethető . Egy többdimenziós térben álló stacionárius Poisson-áramlást λ térbeli sűrűség jellemzi . Ebben az esetben Λ(A) egyenlő az A tartomány térfogatával , megszorozva λ -val .

Osztályozás

Kétféle Poisson-folyamat létezik: egyszerű (vagy egyszerűen: Poisson-folyamat) és összetett (általánosított).

Egy egyszerű Poisson-folyamat

Hadd . Egy véletlenszerű folyamatot homogén Poisson-folyamatnak nevezünk, amelynek intenzitása ha $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ szinte biztos .
$\{X_{t}\}$ egy folyamat független növekményekkel .
$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (ts))$ bármely esetén , ahol a Poisson-eloszlást jelöli paraméterrel . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Komplex (általánosított) Poisson-folyamat

Legyen egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Legyen egy egyszerű Poisson-folyamat intenzitással , független a sorozattól . $N(t)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Jelölje a bevezetett sorozat első k elemének összegével. $S_{k}$

Ezután az összetett Poisson-folyamatot a következőképpen definiáljuk . $\{Y_{t}\}$ $S_{N(t)}$

Tulajdonságok

Az ugrások közötti idők függetlenek és exponenciális eloszlásúak ${\text{Exp}}(\lambda )$ .
A Poisson -folyamat csak nem negatív egész értékeket fogad el, sőt

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\lpont

vagyis az ugrás pillanatának gamma eloszlása van . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda ,k)$

A Poisson-folyamat pályái darabonként állandó, jobbra-folytonos, nem csökkenő függvények, szinte biztosan eggyel egyenlő ugrásokkal . Pontosabban

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

, _

h\-tól 0-ig

ahol azt jelenti, hogy " körülbelül kicsi ". $o(h)$

Kritériumok

Ahhoz, hogy valamilyen folytonos idejű véletlenszerű folyamat Poisson (egyszerű, homogén) vagy azonos nulla legyen, elegendő a következő feltételek teljesülése: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
A folyamatnak független lépései vannak.
A folyamat egységes.
A folyamat nem negatív egész értékeket fogad el.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ at . $h\searrow 0$

Információ tulajdonságai [3]

Legyen a Poisson-folyamat ugrási ideje. . $\tau _{1},\pontok ,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

Függ a pálya előző részétől? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$

Hadd . $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\balra jobbra u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Az ugrások közötti időintervallumok hosszának eloszlása memóriahiány tulajdonsággal rendelkezik ⇔ exponenciális .

Tekintsünk egy szakaszt az időtengelyen. $[a,b]$

$X(b)-X(a)=n$ az ugrások száma a szakaszon . Az ugrások pillanatainak feltételes eloszlása egybeesik a -ból származó hosszúságú mintából szerkesztett variációs sorozat eloszlásával . $[a,b]$
$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ $n$ $R[a,b]$

Ennek az eloszlásnak a sűrűsége $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Központi határérték tétel

Tétel.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Konvergencia ráta : , ahol a Berry-Esseen állandó .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Alkalmazás

A Poisson-áramlást különféle valós áramlások szimulálására használják: balesetek, töltött részecskék áramlása az űrből, berendezés meghibásodása és mások. Használható olyan pénzügyi mechanizmusok elemzésére is, mint például a fizetési áramlás és más valós áramlások. Különböző szolgáltatási rendszerek modelljeinek felépítése, alkalmasságuk elemzése.

A Poisson-folyamok alkalmazása nagymértékben leegyszerűsíti a sorbanállási rendszerek hatékonyságának számításával kapcsolatos problémák megoldását. De a valódi áramlás ésszerűtlen helyettesítése a Poisson-áramlással, ahol ez elfogadhatatlan, durva számítási hibához vezet.

Irodalom

Gardiner KV Sztochasztikus módszerek a természettudományokban. — M .: Mir, 1986. — 528 p.
van Kampen NG Sztochasztikus folyamatok a fizikában és a kémiában. - M . : Felsőiskola, 1990. - 376 p.
Kingman J. Poisson folyamatok. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 p.

Jegyzetek

↑ " Matematikai enciklopédia " / Főszerkesztő I. M. Vinogradov. - M . : "Szovjet Enciklopédia", 1979. - T. 4. - 1104 p. - 148 800 példány.
↑ Kibernetikai szótár / Szerk.: V. S. Mikhalevich akadémikus . - 2. - Kijev: Az M. P. Bazhanról elnevezett Ukrán Szovjet Enciklopédia fő kiadása, 1989. - S. 534. - 751 p. - (C48). — 50.000 példány. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Sestakov Oleg Vladimirovics. Előadásjegyzet a "Valószínűségi modellek" témában, 7. előadás . (Orosz)