Közvetlen Monte Carlo szimuláció

A közvetlen Monte Carlo-szimuláció (a közvetlen statisztikai Monte Carlo-szimuláció módszere) egy számítási gázdinamikai módszer, amelyet a ritkított gázok dinamikájának problémáinak megoldására terveztek. A módszer a Boltzmann-egyenlet megoldásaként értelmezhető .

A PSM módszer egy gáz diszkrét részecskék halmazával való ábrázolásán alapul (amelyek mindegyike nagyszámú valós molekula), amelyekre adott az egymással való ütközés sztochasztikus folyamata. A részecskék halmazának evolúcióját egyenletes egyenes vonalú mozgásként írják le, amelyet véletlenszerűen megszakítanak pillanatnyi párütközések, ezért általában teljes véges szakaszú ütközési modelleket használnak. Az algoritmus egyszerűsítése és a számítás jelentős felgyorsítása érdekében a részecskék mozgásának és ütközésének fázisait elválasztják egymástól és váltják egymást, és az ütközési partnereket csak ugyanazon a cellán belül választják ki (a relatív helyzet figyelembevétele nélkül).

A stacionárius áramlási üzemmód elérése után az áramlási makroparamétereket úgy számítjuk ki, hogy a részecskeparamétereket kellően nagy számú időlépésben átlagoljuk.

A módszernek három fő diszkretizációs paramétere van: időlépés , sejtméret (az egyes részecskék ütközési partnerei csak ugyanazon a cellán belül vannak kiválasztva), a részecskék száma a sejtben . Az időlépésnek kisebbnek kell lennie, mint az ütközések közötti idő , a cella méretének kisebbnek kell lennie, mint az átlagos szabad út , a cellában lévő részecskék számának elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy az ismétlődő ütközések valószínűsége legyen egymás után kétszer egymás után anélkül, hogy más részecskékkel ütköznének) kicsi. $\Delta t$ $\Delta h$ $N$ $t_{c}$ $\lambda$

Másodrendű konvergencia van -ben (feltéve, hogy a részecskék ritkán haladnak át egynél több cellán egy időlépésben a hőmozgás miatt, ellenkező esetben az első sorrend figyelhető meg), a második sorrend -ben és az első sorrend -ben . $\Delta t/t_{c}$ $\Delta h/\lambda$ $\Delta h/(\lambda N)$

A felhalmozott makroparaméterek szórása fordítottan csökken a figyelembe vett időlépések számával (azonban a túl rövid időlépésekhez többre lesz szükség a részecskeparaméterek időbeli autokorrelációi miatt a cellában). Vagyis a hiba amplitúdójának felére csökkentéséhez négyszer annyi időlépést kell kiszámítani.

Átlagoláskor kívánatos mind az átmenet utáni fázismintát, mind az ütközés utáni fázismintát használni, azaz minden időlépéshez két mintát. Ez lehetővé teszi a másodrendű pontosság elérését az időlépésben nagyobb pillanatok, például hőáram esetén. Az időátlagolás nem alkalmas nem stacionárius problémák megoldására, sokszor kell szimulálni az áramlást és átlagolni a megoldások együttesét.

A PSM módszer összetettsége közvetlenül összefügg a gáz ritkításának mértékével, amelyet a Knudsen-szám (az átlagos szabad út és a számított rendszer jellemző méretének aránya) határoz meg. A komplexitás gyorsan növekszik a Knudsen-szám csökkenésével, azaz a gázsűrűség növekedésével, mivel szükséges a rács finomítása és a részecskék számának növelése. A helyzetet bonyolítja, hogy sűrűbb gázban a stacioner rendszer kialakítása tovább tart, míg az időlépést éppen ellenkezőleg, csökkenteni kell. Ennek eredményeként a PSM módszert mindenekelőtt akkor alkalmazzák, amikor a gáz rendkívül kis lokális egyensúlyi eltérésének feltételezése nem működik, illetve a Navier-Stokes egyenletek nem alkalmazhatók, illetve a Boltzmann-egyenletek megoldása. szükséges.

A módszer története

G. Byrd 1963-ban javasolta először a direkt statisztikai modellezés módszerét a molekulák ütközési és átviteli folyamataival történő felosztással [1] . Ezt követően javasolták a Bird's Time-Counter sémát [2] . Az 1990-es évek elején szinte minden számítást a Bird's Non-Time Counter séma [3] vagy a fő frekvenciaséma segítségével végeztek.

A módszer alkalmazhatósága

Mivel a ritkított gáz olyan gáz, amelyben a kettős ütközések valószínűsége sokkal nagyobb, mint a nagyfokú ütközések (háromszoros stb.) valószínűsége, a módszer alkalmazható a szabad molekuláris, átmeneti és kontinuum gázáramlásainak leírására. rezsimek. Például a levegő több száz atmoszféra nyomásig kielégíti a ritkítás feltételeit . Az áramlási rendszert általában a Kn Knudsen-szám alapján határozzák meg .

A módszer alkalmazhatóságának másik korlátja a Boltzmann-egyenlet levezetésénél használt molekuláris káoszfeltétel megsértésével kapcsolatos. A modellező molekulák közötti statisztikai függőség kialakulása szükségessé teszi a modellező molekulák számának növelését. A közel folytonos üzemmódban ( ) lévő áramlásoknál ez a tényező párhuzamos számítási rendszerek használatát kényszeríti ki $Kn<0,01$

Jelenleg a közvetlen statisztikai Monte Carlo-modellezés módszerét használják olyan különböző léptékű áramlások tanulmányozására, mint az űrhajók körüli áramlás a bolygó légkörébe való belépéskor, a gázáramlás a mikro- és nanoeszközök belsejében , valamint a gázáramlás a vákuumtechnológiai folyamatok során.

Jegyzetek

↑ Bird GA A transzlációs egyensúly megközelítése merev gömbgázban. Phys. folyadékok . Vol.6, No. 10, P 1518-1519 (1963)
↑ Byrd G. Molekuláris gázdinamika. M.: Mir, 1981.
↑ Bird GA A molekuláris gázdinamika és a gázáramlások közvetlen szimulációi. - Clarendon Press, Oxford. – 1994.

Linkek

Irodalom

Byrd G. Molekuláris gázdinamika. M.: Mir, 1981.
Leontovich, M.A., A gázok kinetikai elméletének alapegyenletei a véletlenszerű folyamatok elmélete szempontjából, Zh. kísérleti és elmélet. fizika. 1935. V. 5. S. 75-79.
Katz M. Valószínűségszámítás és kapcsolódó kérdések a fizikában. M.: Mir, 1965.
Ivanov M.S., Rogazinsky S.V. Gazdasági sémák a ritka gázáramlások statisztikai modellezéséhez // Mat. modellezés. 1989. V. 1., 7. sz. S. 130-145.
Galkin VA, Osetsky D. Yu. Boltzmann gáz eset, amely a Smoluchowski koagulációs egyenlethez vezet. //ZHVM és MF. 2006.- v.46, N.3. pp.536-549.

Bibliográfia: 9.

V. A. Galkin, D. Yu. Osetsky, „Mathematical modeling of coagulation kinetics”, Matem. modellezés, 18:1 (2006), 99-116