Mersenne szám

A Mersenne -szám az alak száma , ahol egy természetes szám ; ezek a számok figyelemre méltóak abban, hogy némelyikük prímszám nagy érték esetén . Nevét Marin Mersenne francia matematikusról kapták, aki a 17. században tanulmányozta tulajdonságaikat. $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $n$

Az első Mersenne-számok [1] :

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …

Tulajdonságok

Mindenre igaz: ha összetett, akkor az is összetett, ami a bővítésből következik: $M_{n}$ $n$ $n=kl,k,l>1$ $M_{n}$

2^{n}-1=2^{kl}-1=(2^{k}-1)(2^{k(l-1)}+2^{k(l-2)} +\pontok +1),

Ebből rögtön következik: egy szám csak akkor prím , ha a szám is prím. A fordított állítás általános esetben nem igaz, a legkisebb ellenpélda a . $M_{n}$ $n$ $M_{{11}}=2047=23\cdot 89$

Egy prímszám összetett számának bármely osztója alakja , ahol természetes szám (ez a Fermat-féle kis tétel következménye ). $M_{p}$ $p$ $2\cdot p\cdot k+1$ $k$

A Mersenne-prímek szorosan összefüggenek a tökéletes számokkal . Eukleidész megmutatta, hogy az alak olyan száma , ahol a Mersenne-szám prímszám, tökéletes. Euler bebizonyította, hogy ez a képlet minden páros tökéletes számot kimerít. (Ami a páratlan tökéletes számokat illeti, ezek létezéséről eddig semmit sem tudunk.) ${\tfrac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $M_{p}$

Mersenne prímszámok

Az alak összes prímszámánál a kitevő is mindig prímszám, ezért különösen a [2] prímkitevővel rendelkező Mersenne-számokat tanulmányozzák ( egyes írásokban csak az ilyen számokat tekintik Mersenne-számoknak). A Mersenne-prímek sorozata így kezdődik [3] : $2^{n}-1$ $n$ $M_{p}=2^{p}-1$ $p$

3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 127 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …

Az ismert Mersenne-prímek kitevői egy sorozatot alkotnak [4] [5] : $p$

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 4253, 4423 , 96417,1 , 96413 , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 011 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 42 643 801 , 43 112 801 , 43 112 801 , 43 112 609 ... 43 112 609 ...

A Mersenne-számok a Mersenne-számok egyszerűségét ellenőrző hatékony algoritmussal – a Luc-Lehmer-teszttel – szereztek hírnevet . Emiatt a Mersenne-prímek sokáig vezették a legnagyobb ismert prímszámokat [6] . Ezenkívül a Mersenne-prímszámokat nagy periódusú pszeudo-véletlenszám-generátorok létrehozására használják [7] , például a Mersenne-örvényt .

Mersenne prímszámok keresése

A legnagyobb ismert prímszám (2019 januárjában) a Mersenne-szám , amelyet 2018. december 7-én Patrick Laroche talált meg a GIMPS önkéntes számítási projekt részeként . Egy szám decimális jelölése 24 862 048 számjegyet tartalmaz [8] . $M_{82589933}=2^{82589933}-1$ $M_{82589933}$

Összességében 2018 decemberéig 51 Mersenne-prím ismert, míg a sorozatszámok csak az első 48 [9] szám esetében vannak megbízhatóan megállapítva. Különösen nem ismert, hogy vannak-e más Mersenne-prímek, amelyek kisebbek az ismert rekordnál. Nevezetesen, a 45. Mersenne-prím két héttel később került elő, mint a 47. ismert Mersenne-prím , míg a 46. ismert Mersenne-prím csak egy évvel később került elő. $M_{37156667}$ $M_{{43112609}}$ $M_{42643801}$

2009-ben a GIMPS projekt 100 000 dolláros díjat kapott az Electronic Frontier Foundationtől , mert Mersenne-prímet talált egy olyan prímszám megtalálásához, amelynek decimális jelölése legalább 10 millió számjegyet tartalmaz [10] . $M_{{43112609}}$

Változatok és általánosítások

A dupla Mersenne -szám az alak száma. 2021 januárja óta csak 4 ilyen típusú prímszám ismert (-re). $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ $n=2,3,5,7$

A katalán-mersenne-i számok egy 2-vel kezdődő számsorozat tagjai, amelyekaz előző tag; első elemek[11]: $2^{n}-1$ $n$

2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …

Katalán azt feltételezte, hogy ezek a számok "egy bizonyos határig" prímszámúak.

Az általánosított Mersenne -szám a következő alakú szám:

h^{0}+h^{1}+h^{2}+\dots +h^{n-1}={\frac {h^{n}-1}{h-1)) =M_{ó,n}

Ez az általánosítás annak köszönhető, hogy egy növekvő geometriai progresszió első tagjának összegeként ábrázolható : $2^{n}-1$ $n$

2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\pontok +2^{n-1}={\frac {2^{n}- 1}{2-1}}

más szóval, a Mersenne-számok az általánosított Mersenne-számok speciális esetei . Egyes értékek és általánosított Mersenne-számok egyszerűek, például , , , , , , és még sok más. $h=2$ $h$ $n$ $M_{3,3}$ $M_{3,7}$ $M_{3,13}$ $M_{3,71}$ $M_{5,3}$ $M_{5,7}$ $M_{5,47}$

Nyitott kérdések

Nem ismert, hogy a Mersenne-prímek halmaza véges vagy végtelen, és eloszlásuk sűrűsége a természetes számok halmazában ismeretlen.

Nem ismert, hogy léteznek-e prímdupla Mersenne-számok . $n>7$

Jegyzetek

↑ OEIS sorozat A000225 _
↑ OEIS szekvencia A001348 _
↑ OEIS sorozat A000668 _
↑ OEIS sorozat A000043 _
↑ Az ismert Mersenne-prímszámok listája . Nagyszerű internetes Mersenne Prime Search . Letöltve: 2016. december 9.
↑ A legnagyobb ismert prímszámok – Összefoglaló . The Prime Pages (2018. december 26.). Letöltve: 2018. december 28.
↑ R. P. Brent, P. Zimmermann. Véletlenszám-generátorok Mersenne-prímmel osztható periódussal // Lecture Notes in Computer Science. - 2003. - T. 2667 . - S. 1-10 .
↑ Elizabeth Ivtushok. A legnagyobb prímszám másfél millió karakterrel bővült . nplus1.ru. Letöltve: 2018. december 23. (Orosz)
↑ GIMPS mérföldkövek . www.mersenne.org . Letöltve: 2022. április 5. (határozatlan)
↑ Rekord 12 millió számjegyű prímszám nettó 100 000 dolláros díj
↑ OEIS szekvencia A007013 _

Linkek

Weisstein, Eric W. Mersenne Prime (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Mersenne szám (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Numbers (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Andrej Konjajev . Könnyebb sehol. Találtam egy elsőszámú, ötödik regényt, a "Háború és béke" // lenta.ru. — 2013. február 12.
Mersenne Prime Search Project (GIMPS ) .
Projekt az MM31, MM61, MM89, MM107, MM127 kettős Mersenne-számok osztóinak keresésére (eng.) .