Thomson probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Thomson-probléma célja, hogy meghatározza az elektrosztatikus töltés teljes potenciális energiájának minimális konfigurációját egy egységgömb felülete által határolt N elektron számára , amelyeket a Coulomb-törvény által adott erő taszít el egymástól . J. J. Thomson fizikus 1904-ben vetette fel a problémát, miután a semleges töltésű atomokban negatív töltésű elektronok létezésére vonatkozó ismeretei alapján javasolta az atom modelljét, amelyet később pudingmodellnek neveztek.

A kapcsolódó problémák közé tartozik a minimális energiakonfiguráció geometriájának tanulmányozása és az N minimális energia viselkedésének tanulmányozása nagy N -nél.

Matematikai megfogalmazás

A Thomson-probléma által megtestesített fizikai rendszer egy speciális esete a Steven Smale matematikus által javasolt tizennyolc megoldatlan matematikai probléma egyikének - "A pontok eloszlása egy gömbön". Az egyes N elektronos problémák megoldását akkor kapjuk meg, ha az egységnyi sugarú gömb felülete által határolt N elektron konfigurációja (r = 1) megadja az U(N) elektrosztatikus potenciális energia globális minimumát.

Az egyes egyenlő töltésű elektronpárok között fellépő elektrosztatikus kölcsönhatás energiáját ( , egy elektron elemi töltése) a Coulomb-törvény határozza meg, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij))).))$

itt van a Coulomb-állandó és a gömb pontjain elhelyezkedő egyes elektronpárok közötti távolság, amelyet a vektorok , ill. ${\displaystyle k_{e))$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${\megjelenítési stílus {r}_{i}}$ ${\megjelenítési stílus {r}_{j))$

Egyszerűsített egységek , és a fő jelentés elvesztése nélkül használatosak. Akkor, $e=1$ $k_{e}=1$

${\displaystyle {\U_{ij}(N)={1 \over r_{ij)).))$

Az egyes N-elektron konfigurációk elektrosztatikus töltésének teljes potenciális energiája az összes pár kölcsönhatás összegeként fejezhető ki.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Az N különböző pontból álló összes lehetséges halmaz globális minimalizálását általában numerikus minimalizálási algoritmusok találják meg.

Példa

A Thomson-probléma megoldását két elektronra úgy kapjuk meg, ha mindkét elektron a lehető legtávolabb van egymástól az origó ellentétes oldalán , ill. ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2))$

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}}.}

Ismert megoldások

A matematikai Thomson-feladat sematikus geometriai megoldásai N = 5 elektronig.

A minimális energiakonfigurációt csak néhány esetben határozták meg szigorúan.

N = 1 esetén a megoldás triviális, mivel az elektron az egységgömb felületének bármely pontján elhelyezkedhet. A konfiguráció teljes energiája nulla, mivel az elektron nincs kitéve elektromos térnek semmilyen más töltésforrás miatt.
N = 2 esetén az optimális konfiguráció az antipodális pontokon lévő elektronokból áll.
N = 3 esetén az elektronok egy nagykör körüli egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban vannak.
N = 4 esetén az elektronok egy szabályos tetraéder csúcsaiban vannak .
N = 5 esetén 2010-ben matematikailag szigorú számítógépes megoldást kaptunk, amelyben az elektronok egy háromszög alakú dipiramis csúcsaiban helyezkedtek el.
N = 6 esetén az elektronok egy szabályos oktaéder csúcsaiban vannak .
N = 12 esetén az elektronok egy szabályos ikozaéder csúcsaiban vannak .

Figyelemre méltó, hogy a Thomson-probléma N = 4, 6 és 12 elektronra vonatkozó geometriai megoldásait platóni szilárdtesteknek nevezzük, amelyek lapjai egyenlő oldalú háromszögek. Az N = 8 és 20 numerikus megoldásai nem szabályos konvex poliéder konfigurációk a fennmaradó két platóni testnek , amelyek lapjai négyzet, illetve ötszög alakúak.

Általánosítások

Lehetőség van tetszőleges potenciállal kölcsönhatásba lépő részecskék alapállapotainak lekérdezésére is. Hogy matematikailag pontosak legyünk, legyen f csökkenő valós függvény. Meghatározzuk az energiafüggvényt $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Hagyományosan Riesz magnak is nevezik. A nem integrálható Riesz-magokra a mákfánk tétel érvényes . A figyelemre méltó esetek közé tartozik az α = ∞, a Tammes-probléma; α = 1, Thomson-probléma; α = 0, White-feladat (a távolságok szorzatának maximalizálása érdekében). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Kapcsolatok más tudományos kérdésekkel

A Thomson-probléma a Thomson-féle szilvapuding modell természetes következménye, annak egységes pozitív háttértöltése hiányában.

"Egyetlen, az atomról felfedezett tény sem lehet triviális, és felgyorsíthatja a fizikai tudomány fejlődését, mivel a természetfilozófia nagy része az atom szerkezetének és mechanizmusának az eredménye."

Bár a kísérleti adatok a Thomson pudingmodell , mint az atom teljes modelljének elhagyásához vezettek , azt találták, hogy a Thomson-probléma numerikus energia megoldásaiban megfigyelt inhomogenitások megfelelnek az elektronhéj természetes atomokkal való kitöltésének. az elemek periódusos rendszere.

A Thomson-probléma más fizikai modellek tanulmányozásában is szerepet játszik, beleértve a többelektronos buborékokat és a Paul-csapdákban rekedt folyékony fémcseppek felületi rendezését.

Az általánosított Thomson-probléma például a gömb alakú vírusok burkát alkotó fehérje-alegységek elhelyezkedésének meghatározásakor merül fel. A "részecskék" ebben az esetben a fehérje alegységeinek klaszterei, amelyek a héjon helyezkednek el. További példák közé tartozik a kolloid részecskék szabályos elrendezése a kolloidoszómákban , amelyek hatóanyagokat, például gyógyszereket, tápanyagokat vagy élő sejteket, a szénatomok fullerén szerkezetét, valamint az elektronpár taszítás elméletét javasolják. A nagy hatótávolságú logaritmikus kölcsönhatások példái az Abrikosov-örvények, amelyek alacsony hőmérsékleten képződnének egy szupravezető fémhéjban, amelynek középpontjában nagy elektromágneses tér található.

A legalacsonyabb ismert energiakonfigurációk

A következő táblázatban - a konfigurációban lévő pontok (töltések) száma, - az energia, a szimmetria típusa Schoenflies-jelöléssel van feltüntetve (lásd Pontcsoportok három dimenzióban ), - a töltések pozíciói. A legtöbb szimmetriatípus megköveteli, hogy a pozíciók vektorösszege (és így az elektromos dipólusmomentum ) nulla legyen. $N$ $E_1$ $r_{i}$

Szokás a pontok domború héja által alkotott poliédert is figyelembe venni . Így a csúcsok száma, ahol adott számú él előfordul, az élek teljes száma, a háromszöglapok száma, a négyszöglapok száma, és a legközelebbi párhoz tartozó vektorok által képviselt legkisebb szög a díjakból. Vegye figyelembe, hogy az élek hossza általában nem egyenlő; így (az N = 4, 6, 12, 24 esetek kivételével ) a konvex hajótest csak topológiailag ekvivalens egy homogén poliéder vagy Johnson testtel. Ez utóbbiak az utolsó oszlopban vannak felsorolva. $v_{i}$ $e$ $f_3$ ${\displaystyle f_{4))$ $\theta _{1}$

N	E 1	Szimmetria	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5))$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7))$	${\displaystyle v_{8))$	e	${\displaystyle f_{3))$	${\displaystyle f_{4))$	$\theta _{1}$	Egyenértékű poliéder
2	0,500000000	${\displaystyle D_{\infty h))$	0	—	—	—	—	—	—	egy	—	—	180 000°	dvuagon
3	1,732050808	${\displaystyle D_{3h))$	0	—	—	—	—	—	—	3	egy	—	120 000°	háromszög
négy	3,674234614	${\displaystyle T_{d))$	0	négy	0	0	0	0	0	6	négy	0	109,471°	tetraéder
5	6,474691495	${\displaystyle D_{3h))$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90 000°	háromszög alakú dipiramis
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	nyolc	0	90 000°	oktaéder
7	+14,452977414	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	5	2	0	0	0	tizenöt	tíz	0	72 000°	ötszögletű dipiramis
nyolc	+19,675287861	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	nyolc	0	0	0	0	16	nyolc	2	71,694°	négyzet alakú antiprizma
9	+25,759986531	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	3	6	0	0	0	21	tizennégy	0	69,190°	háromszög prizma
tíz	+32,716949460	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	2	nyolc	0	0	0	24	16	0	64,996°	Gyro hosszúkás négyzet alakú dipiramis
tizenegy	+40.596450510	${\displaystyle C_{2v))$	0,013219635	0	2	nyolc	egy	0	0	27	tizennyolc	0	58,540°	éllel összenyomott ikozaéder
12	+49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	harminc	húsz	0	63,435°	ikozaéder
13	+58.853230612	${\displaystyle C_{2v))$	0,008820367	0	egy	tíz	2	0	0	33	22	0	52,317°	—
tizennégy	+69.306363297	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	csavart hosszúkás hatszögletű dipiramis
tizenöt	+80.670244114	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°	—
16	+92,911655302	$T$	0	0	0	12	négy	0	0	42	28	0	48,936°	—
17	+106.050404829	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	5	0	0	45	harminc	0	50,108°	—
tizennyolc	+120.084467447	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	2	nyolc	nyolc	0	0	48	32	0	47,534°	—
19	+135.089467557	${\displaystyle C_{2v))$	0,000135163	0	0	tizennégy	5	0	0	ötven	32	egy	44,910°	—
húsz	+150,881568334	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	nyolc	0	0	54	36	0	46,093°	—
21	+167,641622399	${\displaystyle C_{2v))$	0,001406124	0	egy	tíz	tíz	0	0	57	38	0	44,321°	—
22	+185.287536149	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	tíz	0	0	60	40	0	43,302°	—
23	+203.930190663	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	tizenegy	0	0	63	42	0	41,481°	—
24	+223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	snub kocka
25	+243.812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	tizennégy	tizenegy	0	0	68	44	egy	39,610°	—
26	+265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	tizennégy	0	0	72	48	0	38,842°	—
27	+287.302615033	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	tizenöt	0	0	75	ötven	0	39,940°	—
28	+310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°	—
29	+334.634439920	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°	—
harminc	+359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	tizennyolc	0	0	84	56	0	36,942°	—
31	+385.530838063	${\displaystyle C_{3v))$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°	—
32	+412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	húsz	0	0	90	60	0	37,377°	—
33	+440.204057448	${\displaystyle C_{s))$	0,004356481	0	0	tizenöt	17	egy	0	92	60	egy	33.700°	—
34	+468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°	—
35	+498.569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°	—
36	+529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°	—
37	+560.618887731	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°	—
38	+593.038503566	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°	—
39	+626.389009017	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°	—
40	+660.675278835	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°	—
41	+695.916744342	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°	—
42	+732.078107544	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	harminc	0	0	120	80	0	31,245°	—
43	+769.190846459	${\displaystyle C_{2v))$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°	—
44	+807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	húsz	0	0	120	72	6	31,258°	—
45	+846.188401061	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°	—
46	+886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°	—
47	+927.059270680	${\displaystyle C_{s))$	0,002482914	0	0	tizennégy	33	0	0	134	88	egy	28,787°	—
48	+968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690°	—
49	+1011.557182654	$C_{{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°	—
ötven	+1055.182314726	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°	—
51	+1099.819290319	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°	—
52	+1145.418964319	$C_{{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°	—
53	+1191.922290416	$C_{{2v}}$	0,000278469	0	0	tizennyolc	35	0	0	150	96	3	27,137°	—
54	+1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030°	—
55	+1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°	—
56	+1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°	—
57	+1387.383229253	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°	—
58	+1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°	—
59	+1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	tizennégy	43	2	0	171	114	0	26,170°	—
60	+1543.830400976	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°	—
61	+1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°	—
62	+1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	ötven	0	0	180	120	0	25,880°	—
63	+1708.879681503	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°	—
64	+1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°	—
65	+1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°	—
66	+1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°	—
67	+1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°	—
68	+2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°	—
69	+2064.533483235	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°	—
70	+2127.100901551	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	ötven	0	0	200	128	négy	24,291°	—
71	+2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	tizennégy	55	2	0	207	138	0	23,803°	—
72	+2255.001190975	$én$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	—
73	+2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810°	—
74	+2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°	—
75	+2454.369689040	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°	—
76	+2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°	—
77	+2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°	—
78	+2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°	—
79	+2733.248357479	${\displaystyle C_{s))$	0,000702921	0	0	12	63	egy	0	230	152	egy	22,636°	—
80	+2805.355875981	${\displaystyle D_{4d))$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°	—
81	+2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°	—
82	+2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°	—
83	+3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	tizennégy	67	2	0	243	162	0	21,646°	—
84	+3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°	—
85	+3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°	—
86	+3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°	—
87	+3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°	—
88	+3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°	—
89	+3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°	—
90	+3579.091222723	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230°	—
91	+3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°	—
92	+3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°	—
93	+3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°	—
94	+3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°	—
95	+4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°	—
96	+4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°	—
97	+4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450°	—
98	+4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°	—
99	+4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°	—
100	+4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°	—
101	+4540.590051694	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011°	—
102	+4633.736565899	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°	—
103	+4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°	—
104	+4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°	—
105	+4919.000637616	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°	—
106	+5015.984595705	${\displaystyle D_{2))$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°	—
107	+5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°	—
108	+5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°	—
109	+5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	tizennégy	93	2	0	321	214	0	19,103°	—
110	+5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°	—
111	+5515.293214587	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°	—
112	+5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351°	—
113	+5721.824978027	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°	—
114	+5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°	—
115	+5932.181285777	$C_{{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°	—
116	+6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°	—
117	+6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°	—
118	+6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455°	—
119	+6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336°	—
120	+6474.756324980	${\displaystyle C_{s))$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°	—
121	+6586.121949584	$C_{{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199°	—
122	+6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	—
123	+6811.827228174	$C_{{2v}}$	0,001939754	0	0	tizennégy	107	2	0	363	242	0	17,840°	—
124	+6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111°	—
125	+7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°	—
126	+7157.669224867	${\displaystyle D_{4))$	0	0	2	16	100	nyolc	0	372	248	0	17,920°	—
127	+7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°	—
128	+7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°	—
129	+7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°	—
130	+7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°	—
131	+7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511°	—
132	+7875.045342797	$én$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	—
133	+7998.179212898	$C_{{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133°	—
134	+8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°	—
135	+8246.909486992	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431°	—
136	+8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485°	—
137	+8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560°	—
138	+8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°	—
139	+8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°	—
140	+8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	egy	0	414	276	0	16,773°	—
141	+9016.615349190	$C_{{2v}}$	0,000376365	0	0	tizennégy	126	0	egy	417	278	0	16,962°	—
142	+9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840°	—
143	+9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°	—
144	+9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°	—
145	+9548.928837232	${\displaystyle C_{s))$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°	—
146	+9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°	—
147	+9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°	—
148	+9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°	—
149	+10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	tizennégy	133	2	0	441	294	0	16,344°	—
150	+10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405°	—
151	+10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°	—
152	+10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°	—
153	+10660.082748237	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390°	—
154	+10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°	—
155	+10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990°	—
156	+11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°	—
157	+11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°	—
158	+11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°	—
159	+11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960°	—
160	+11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°	—
161	+11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810°	—
162	+11984.050335814	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°	—
163	+12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°	—
164	+12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°	—
165	+12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°	—
166	+12597.649071323	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	16	146	négy	0	492	328	0	15,607°	—
167	+12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°	—
168	+12910.212672268	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°	—
169	+13068.006451127	${\displaystyle C_{s))$	0,000068102	0	0	13	155	egy	0	501	334	0	15,537°	—
170	+13226.681078541	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°	—
171	+13386.355930717	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°	—
172	+13547.018108787	$C_{{2v}}$	0,000547291	0	0	tizennégy	156	2	0	510	340	0	15,292°	—
173	+13708.635243034	${\displaystyle C_{s))$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°	—
174	+13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°	—
175	+14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°	—
176	+14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101°	—
177	+14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°	—
178	+14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°	—
179	+14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	egy	0	531	354	0	14,968°	—
180	+14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°	—
181	+15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002°	—
182	+15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155°	—
183	+15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°	—
184	+15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°	—
185	+15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°	—
186	+15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°	—
187	+16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°	—
188	+16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740°	—
189	+16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°	—
190	+16604.428338501	$C_{{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501°	—
191	+16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	egy	0	567	378	0	14,195°	—
192	+16963.338386460	$én$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	—
193	+17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°	—
194	+17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350°	—
195	+17509.489303930	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°	—
196	+17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251°	—
197	+17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°	—
198	+18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°	—
199	+18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153°	—
200	+18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°	—
201	+18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	egy	0	597	398	0	13,830°	—
202	+18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°	—
203	+19007.981204580	${\displaystyle C_{s))$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°	—
204	+19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°	—
212	+20768.053085964	$én$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	—
214	+21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°	—
216	+21575.596377869	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°	—
217	+21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°	—
232	+24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260°	—
255	+30264.424251281	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565°	—
256	+30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°	—
257	+30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°	—
272	+34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335°	—
282	+37147.294418462	$én$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	—
292	+39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°	—
306	+43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°	—
312	+45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°	—
315	+46525.825643432	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337°	—
317	+47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°	—
318	+47431.056020043	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219°	—
334	+52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058°	—
348	+56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°	—
357	+59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°	—
358	+60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°	—
372	+65230.027122557	$én$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	—
382	+68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°	—
390	+71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222°	—
392	+72546.258370889	$én$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°	—
400	+75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068°	—
402	+76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°	—
432	+88353.709681956	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°	—
448	+95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°	—
460	+100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°	—
468	+103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120°	—
470	+104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059°	—

A feltevés szerint, ha , p egy m pontból álló konvex burok által alkotott poliéder , q a p négyszöglapok száma , akkor m elektronra a megoldás f ( m ): . ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q))$

Linkek

Thomson, Joseph John (1904. március). „Az atom szerkezetéről: a kör kerülete körül szabályos időközönként elhelyezkedő testtestek stabilitásának és rezgési periódusainak tanulmányozása; az eredményeknek az atomszerkezet elméletére való alkalmazásával” (PDF). Filozófiai folyóirat . Sorozat 6. 7 (39): 237-265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Archiválva az eredetiből (PDF) 2013. december 13.
Smale, S. (1998) „A következő évszázad matematikai problémái”. "Matematikai intelligencia".
Föppl, L. (1912). "Az elektronok stabil elrendezése az atomban" J. Rain Angew. Matematika (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). "A Thomson-probléma ötelektromos esete". arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
^ Landkof N. S. A modern potenciálelmélet alapjai. Orosz nyelvű fordítás: A. P. Dukhovsky. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 180. csoport. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 pp.
^ Hardin D. P.; Saff, E. B. Diskretizáló sokaság minimális energiájú pontokon keresztül. Amer feljegyzései. Matematika Szoc. 51 (2004), 3. sz. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzon, JJ (2003). "Miért kerülnek a töltések a felszínre: egy általánosított Thomson-probléma." Europhys. Lett . 63(3):415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir J. J. Thomson, Romanov előadás, 1914 (Atomelmélet)
LaFave Jr, Tim (2013). "Thomson klasszikus elektrosztatikus problémája és az atomi elektronszerkezet közötti összefüggések". Journal of Electrostatics . 71(6): 1029-1035. arXiv: 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. "Minimális elektronenergia konfigurációi egy gömbön" . Letöltve: 2014-05-01.
" Sloane A008486 (lásd a 2017. február 3-i megjegyzést) ". Elektronikus Lexikon Integer Sequences . OEIS Alapítvány. Érkezett 2017-02-08