Lemma a beágyazott szegmenseken

A beágyazott szegmensek lemma , vagy a beágyazott szegmensek Cauchy-Cantor elve [1] vagy a Cantor-féle folytonosság elve [2] , a matematikai elemzés alapvető állítása, amely a valós számok mezőjének teljességéhez kapcsolódik.

Megfogalmazás

Bármilyen beágyazott szegmensrendszerhez

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

van legalább egy pont , amely az adott rendszer összes szegmenséhez tartozik. $c$

Ha emellett a rendszer szegmenseinek hossza nullára hajlik:

\lim _{{n\to \infty }}(b_{n}-a_{n})=0

akkor az adott rendszer összes szegmensének egyetlen közös pontja. $c$

Megjegyzés

A tétel megfogalmazásában a szegmensek nem helyettesíthetők nyílt intervallumokkal. Például,

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing

Bizonyítás

1) Egy közös pont megléte. A szegmensek bal végeinek halmaza a szegmensek jobb végeinek halmazától balra lévő valós egyenesen fekszik , mert $\{a_{n}\}$ $\{b_{m}\}$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant b_{m}

A folytonosság axiómája alapján ezt a két halmazt egy pont választja el, azaz. $c$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{m}

különösen

\forall n\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}

Az utolsó egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az adott rendszer összes szegmensének közös pontja. $c$

2) Egy közös pont egyedisége. Legyen a rendszer szakaszainak hossza nulla. Mutassuk meg, hogy csak egy pont tartozik a rendszer összes szegmenséhez. Tegyük fel az ellenkezőjét: legyen két különböző pont és , amelyek a rendszer minden szegmenséhez tartoznak: $c$ $c'$

\forall n\;\;c,c'\in [a_{n},b_{n}],\quad c\neq c'

Ekkor a következő egyenlőtlenségek minden számra érvényesek: $n$

|cc'|\leqslant b_{n}-a_{n}

Abból a feltételből adódóan, hogy a szakaszok hossza nullára hajlamos bármely szám esetén, egy bizonyos számtól kezdve, az egyenlőtlenség $\varepsilon >0$ $n$

b_{n}-a_{n}<\varepsilon

Ha figyelembe vesszük ezt az egyenlőtlenséget , azt kapjuk $\varepsilon ={\frac {1}{2}}|cc'|>0$

|cc'|<{\frac {1}{2}}|cc'|

Ellentmondás. A lemma teljesen bebizonyosodott.

A beágyazott intervallumlemma és a valós számok mezőjének teljessége (folytonossága)

A beágyazott intervallumlemma szorosan összefügg a valós számok mezőjének folytonosságával (teljességével) . Így a lemma fenti bizonyítása lényegében a kontinuitás axiómájára támaszkodott . Megmutatható, hogy ha a rendezett mező nem folytonos, akkor előfordulhat, hogy a beágyazott szegmensek elve nem érvényesül. Például, ha vesszük a racionális számok mezőjét , amely nem folytonos, és figyelembe vesszük a beágyazott szegmensek sorozatát

[1;2],[1{,}4;1{,}5],[1{,}41;1{,}42],[1{,}414;1{,}415],\lpont

amelyeknek végei egy irracionális szám tizedes közelítései hiányos, illetve többlet pontossággal , kiderül, hogy ennek a beágyazott szegmensrendszernek nincs közös pontja. ${\sqrt {2}}$ $1/10^{n},\;n=0,1,2,\lpont$

Ezenkívül kimutatható, hogy a beágyazott intervallumelv a mezőkontinuitás egyik ekvivalens megfogalmazása (és ezért nevezik Cantor folytonossági elvének ). Pontosabban a következő állítás érvényes [2] . Bármely rendezett arkhimédeszi mező esetében a beágyazott szegmensek elve ennek a mezőnek a folytonosságát jelenti.

Jegyzetek

↑ Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész – Szerk. 4., rev. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ 1 2 Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.

Irodalom

Kamynin L. I. Matematikai elemzés. T. 1., 2. - 2001.
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .