A háromszögek egyenlőségének jelei (tétel)

A háromszögek egyenlőségének vizsgálata a geometria egyik alaptétele.

Egy háromszög az euklideszi síkon egyedileg ( kongruenciáig ) definiálható az alábbi alapelemhármasokkal: [1]

$a$ , , (két oldal egyenlősége és a köztük lévő szög); $b$ $\gamma$
$a$ , , (oldal- és két szomszédos szög egyenlősége); $\beta$ $\gamma$
$a$ , , (három oldalon egyenlőség). $b$ $c$

Vannak jellemzők a derékszögű háromszögekhez , amelyek közül néhány kivételes:

a láb és a befogó mentén (vagyis derékszögű háromszög esetén nem szükséges, hogy ismert szög (nevezetesen egy egyenes) legyen az ismert oldalak között);
két lábon;
a láb és a hegyesszög mentén;
hipotenúza és hegyesszög.

Egy további előjel: a háromszögek akkor egyenlőek, ha két oldaluk van, és egy szögük a nagyobbik oldallal ellentétes [2] .

A gömbgeometriában és Lobacsevszkij geometriájában van egy jel, hogy a háromszögek három szögben egyenlők.

Az egyenlőség jele két oldalon és a köztük lévő szög

Klasszikus bizonyíték az iskolai tantervből

Tétel: ha egy háromszögben két oldal és a közéjük bezárt szög egy másik háromszögben egyenlő két oldallal és a közéjük bezárt szöggel, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek .

Adott: Bizonyítás: Bizonyítás: Fedje le úgy, hogy a pont ráessen, az oldal pedig egybeessen -val . Ekkor ezen oldalak egyenlősége miatt a pont egybeesik a-val a szögek egyenlősége miatt, az oldal pedig egybeesik -vel , viszont ezen oldalak egyenlősége miatt a pont egybeesik -vel , így a oldala egybe fog esni (mivel két pontot csak egy egyenes köthet össze) . Ekkor a háromszögek egybeesnek, ami azt jelenti, hogy egyenlők. $AB=A_{1}B_{1},\quad AC=A_{1}C_{1},\quad \angle A=\angle A_{1}.$

$\triangle ABC=\triangle A1B1C1.$

$\Delta ABC$ $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$ $A$ $A_{1}$ $AC$ $A_{1}C_{1}$ $C$ $C_{1},$ $A$ $A_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $B$ $B_1$ $CB$ $C_{1}B_{1}$

Megjegyzés

Az a követelmény, hogy a szög az oldalak között legyen, lényeges, mert ha az ismert szög ellenkezőleg, az ismert oldallal szemben van , akkor egy másik, ismeretlen szög, amely az ismert oldal többi részével szemben van, kétértelműen meghatározható a szinusztétel : ha a szög szinusza egyenlő valamilyen értékkel, akkor a szomszédos szinusza is az.

Az egyenlőség jele két szögön és a köztük lévő oldalon

Klasszikus bizonyíték az iskolai tantervből

Tétel: ha az egyik háromszög két szöge és a velük szomszédos oldal egy másik háromszög két szögével, a velük szomszédos oldal pedig egyenlő, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek .

Adott: Bizonyítás: Bizonyítás: $BC=B_{1}C_{1},\quad \angle C=\angle C_{1},\angle B=\angle B_{1}.$

$\triangle ABC=\triangle A1B1C1$

Megjegyzés

Ellentétben az első feltétellel, a 2. feltétel újrafogalmazható úgy, hogy mindkét ismert szög ne szomszédos egy ismert oldallal, és a szögösszeg tételének köszönhetően az egyenlőségi feltétel igaz marad.

Az egyenlőség jele három oldalon

Jegyzetek

↑ Geometria Kiszeljov szerint Archiválva : 2021. március 1. a Wayback Machine -nél , 41. §.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 219.

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M .: Nauka, 1978.

Lásd még

A háromszögek hasonlóságának jelei