Fedőkészlet (számelmélet)

A matematikában az egész számok sorozatának lefedő halmaza a prímszámok halmaza úgy , hogy a sorozat minden tagja osztható legalább egy számmal a halmazban. A "fedőkészlet" kifejezést csak exponenciálisan növekvő szekvenciákra használják.

Sierpinski és Riesel számok

A "takarókészlet" kifejezés a Sierpinski és Riesel számokhoz kapcsolódik . Ezek páratlan természetes számok , amelyekre (Sierpinski-szám) vagy (Riesel-szám) összetett. $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

1960 óta köztudott, hogy végtelenül sok Sierpinski- és Riesel-szám létezik, de mivel végtelen sok szám van az alakban vagy bármely , akkor a Sierpinski- és Riesel-számokhoz való tagság bizonyításához ellenőrizni kell, hogy bármely tag sorozatának vagy osztható a lefedő halmaz prímszámaival. $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$ $k$ $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Ezeket a lefedő halmazokat olyan prímekből alakítják ki , amelyek bináris reprezentációjában rövid periódusúak . Megmutatható, hogy a teljes fedőkészlet megszerzéséhez a periódusnak legalább 24 számból kell állnia.[ pontosítás ] A 24 hosszúságú periódus fedőkészletet ad , a 36 hosszúságú periódus pedig fedőkészleteket: ; ; és . A Riesel számok fedőkészletei megegyeznek a Sierpinski számokkal. ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,17,241\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,73,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,73,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,37,73,109\,\))$

Egyéb borítókészletek

A fedőhalmazokat az összetett Fibonacci -szekvenciák létezésének bizonyítására is használják (prímmentes szekvencia ).

A fedőhalmazok fogalma könnyen általánosítható más sorozatokra. A következő példákban a + ugyanúgy használatos, mint a reguláris kifejezésekben - jelentése 1 vagy több. Például a 91 + 3 a következőt jelenti: {913, 9113, 91113, 911113…}

Példa erre a sorrend:

$(82\cdot 10^{n}+17)/9$ vagy $91^{+}3$
$(85\cdot 10^{n}+41)/9$ vagy $94^{+}9$
$(86\cdot 10^{n}+31)/9$ vagy $95^{+}9$

Minden esetben minden tag osztható a {3,7,11,13} prímszámok egyikével. Ezek a prímek pontosan úgy alkotnak egy fedőhalmazt, mint a Sierpinski- és Riesel-számok esetében.

Egy még egyszerűbb eset a következő sorrend:

$(76\cdot 10^{n}-67)/99$ ( n-nek páratlannak kell lennie ) vagy [Sorozat: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 stb.] $(76)^{+}7$

Kimutatható, hogy:

Ha , akkor (megfelelő számú ismétlés mellett) osztható 7-tel. $n=6k+1$ $(76)^{+}7$
Ha , akkor osztható 13-mal. $n=6k+3$ $(76)^{+}7$
Ha , akkor osztható 3-mal. $n=6k+5$ $(76)^{+}7$

Így van egy mindössze három prímből álló fedőhalmazunk {3,7,13}. Ez csak azért vált lehetségessé, mert azt a feltételt szabtuk, hogy n páratlan legyen.

A fedőkészlet a következő sorrendben is megtalálható:

$(343\cdot 10^{n}-1)/9$ vagy . ${\displaystyle 381^{+))$

Kimutatható, hogy:

Ha , akkor osztható 3-mal. $n=3^{k}+1$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Ha , akkor osztható 3-mal. $n=3^{k}+2$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Ha , akkor -ra bomlik . ${\displaystyle n=3^{k))$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$ $((7\cdot 10^{k}-1)/3)\cdot ((49\cdot 10^{2}k+7\cdot 10^{k}+1)/3)$

Mivel így is felírható , a sorozathoz van egy fedőhalmaz - egy végtelen számú tagú fedőhalmaz. $(7\cdot 10^{k}-1)/3$ ${\displaystyle 23^{+))$ ${\displaystyle 381^{+))$ ${\displaystyle \{\,3,37,23^{+}\,\))$

Linkek

Plateau and Depression Primes archiválva : 2013. július 26. a Wayback Machine -nél
Sierpinski-szerű számok Archiválva : 2012. július 17. a Wayback Machine -nál
Yves Gallot, Kisebb számok keresése Archiválva : 2016. április 9. a Wayback Machine -nél
Louis Helm lhelm. Phil Moore, Payam Samidoost, George Woltman. A vegyes Sierpiński-probléma megoldása Archiválva : 2016. március 12., a Wayback Machine , INTEGERS: Electronic Journal of kombinatorial number theory 8 (2008), #A61