Pluriszubharmonikus funkció

A pluriszubharmonikus függvény egy komplex változók valós értékű függvénye egy komplex tér tartományában , , amely teljesíti a következő feltételeket: $u=u({\vec {z)))$ $n$ ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $D$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n\geqslant 1$

$u(z)$ felső félfolytonos mindenhol -ban ; $D$
$u(z_{0}+\lambda a)$ a változó szubharmonikus függvénye a nyitott halmaz minden összekapcsolt komponensében bármely rögzített ponthoz , . $\lambda \in \mathbb {C}$ ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\))$ $z_{0}\in D$ $a\in \mathbb {C} ^{n}$

Példák

$\ln |f(z)|$ , for , ahol holomorf függvény van -ben . ${\displaystyle |f(z)|^{p))$ $p\geqslant 0$ $F z)$ $D$

Kapcsolódó definíciók

Egy függvényt pluriszuperharmonikus függvénynek nevezünk , ha van pluriszubharmonikus függvény. $v(z)$ $-v(z)$

Tulajdonságok

A pluriszubharmonikus függvények szubharmonikusak, de fordítva nem igaz a . $n>1$

A szubharmonikus függvények általános tulajdonságai mellett a következők igazak a pluriszubharmonikus függvényekre:

$u(z)$ egy pluriszubharmonikus függvény a tartományban akkor és csak akkor van pluriszubharmonikus függvény az egyes pontok közelében ; $D$ $u(z)$ $z\in D$
a pluriszubharmonikus függvények pozitív együtthatókkal rendelkező lineáris kombinációja pluriszubharmonikus függvény;
a pluriszubharmonikus függvények egyenletesen konvergens és monoton csökkenő sorozatának határai pluriszubharmonikusak;
bármely pontközépértékre $z_{0}\in D$

\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u

egy sugarú gömb felett növekvő függvény , konvex az intervallumhoz képest , ha a labda a helyen van ; $r$ $r$ $\ln r$ $0<r<R$ $B_{R}(z_{0})$ $D$

holomorf leképezések esetén a pluriszubharmonikus függvény pluriszubharmonikussá válik;
ha egy folytonos pluriszubharmonikus függvény a tartományban , zárt összefüggő analitikai részhalmaz és a megszorítás eléri a maximumát on , akkor on . $u(z)$ $D$ $E$ $D$ $u|_{E}$ $E$ $u(z)=\mathrm {const}$ $E$

Lásd még

pluriharmonikus funkció

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. 2 kötetben. — M.: Nauka, 1976. — 720 p.
Fuchs B.A. Több összetett változó analitikus függvényei elméletének speciális fejezetei. - Moszkva: Fizikai és matematikai irodalom állami kiadója, 1963. - 428 p.