A kombinatorikus topológia alapsejtése

Az alapvető kombinatorikus topológia sejtés (vagy Hauptvermutung ) az a sejtés , amely azt állítja, hogy ugyanannak a térnek bármely két háromszöge engedélyezi az izomorf felosztást.

Ernst Steinitz és Heinrich Tietze fogalmazta meg 1908 - ban .

Ezt a hipotézist általában megcáfolták. Sőt, bizonyos 4-es és magasabb dimenziójú fajtáknál helytelennek bizonyult.

Megoldástörténet

Az általános eset ellenpéldáját John Milnor konstruálta 1961-ben a torzió segítségével [egy]

A sokaság esetében a sejtés igaz a 2. és 3. dimenzióban. Ezeket az eseteket Rado Tibor és Edwin Moiz bizonyította az 1920-as, illetve az 1950-es években. [2]

Casson és Dennis Sullivan 1967-1969-ben akadályt talált sokaságra vonatkozó sejtésben

Egy ƒ: N → M homeomorfizmus m -dimenziós darabonkénti lineáris sokaságok között invariáns κ(ƒ) ∈ H 3 ( M ; Z / 2 Z ) úgy, hogy m ≥ 5 ƒ esetén akkor és csak akkor izotóp a darabonkénti lineáris homeomorfizmushoz κ(ƒ) = 0.

A hipotézis beteljesülésének akadálya a Kirby-Siebenmann osztály relatív változata, és bármely kompakt m - dimenziós topológiai sokaságra definiálható.

a Rokhlin invariánst használva. M ≥ 5 esetén M darabonkénti lineáris szerkezetű (azaz darabonkénti lineáris gyűjtőcsővel háromszögezhető) akkor és csak akkor, ha κ(ƒ) = 0, ebben az esetben a darabonkénti lineáris szerkezeteket a H 3 elem határozza meg. ( M ; Z / 2Z ). Konkrétan csak véges sok különböző darabonkénti lineáris szerkezet található M -en .

A 4-es dimenziójú kompakt, egyszerűen összekapcsolt sokaságokra Simon Donaldson talált példákat végtelen számú, nem egyenértékű darabonkénti lineáris szerkezettel, Mikhail Fridman pedig egy E8-as elosztót , amely szintén nem teszi lehetővé a háromszögelést.

2013-ban Cyprian Manolescu bebizonyította, hogy léteznek kompakt 5-ös dimenziójú (tehát minden 5-nél nagyobb dimenziójú) sokaság, amelyek nem teszik lehetővé a háromszögelést. [3]

Jegyzetek

1. ↑ John W. Milnor. Két komplex, amelyek homeomorf, de kombinatorikusan különböznek  // Annals of Mathematics . - 1961. - 1. évf. 74. - P. 575-590. - doi : 10.2307/1970299 . . MR : 133127_ _
2. ↑ Moise, Edwin E. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. - New York: Springer-Verlag, 1977. - ISBN 978-0-387-90220-3 .
3. ↑ Ciprian Manolescu. Pin(2)-ekvivalens Seiberg–Witten Floer homológia és a háromszögelési sejtés // J. Amer. Math. Szoc.. - 2016. - 1. évf. 29. - P. 147-176. doi : 10.1090 / jam829 .