Ortogonális pályák

Az ortogonális trajektóriák olyan egyenesek, amelyek egy adott görbecsaládot derékszögben metszenek. Ha a merőleges pálya érintőjének meredeksége, és a család görbéjének érintőjének a meredeksége, akkor és minden pontban teljesítenie kell az ortogonalitási feltételt : $y_{1}'$ $y_{2}'$ $y_{1}'$ $y_{2}'$

y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}

Legyen egy görbecsaládunk , ahol egy konstans. Ekkor egy differenciálegyenlet -rendszer megoldásával ortogonális trajektóriákat találhatunk : $g(x,y)=C$ $C$

\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0

A gradiens definíciójával a következőt írhatjuk:

\nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y))\right)

Ilyen módon:

\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\ részleges y))\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x)),{\frac {\partial g}{\partial y))\right)={\frac {\ részleges f}{\partial x))\cdot {\frac {\partial g}{\partial x))+{\frac {\partial f}{\partial y))\cdot {\frac {\partial g} {\partial y))=0

Példák

Tegyük fel, hogy van egy egyenes családunk, amely az egyenlet által megadott origón halad át . Differenciálva ezt az egyenletet a változóhoz képest, a következőt kapjuk: $y=kx$ $x$