Nos, normál formában

A Howell-normál alak analógja a lépésmátrixnak a maradékok gyűrűje feletti mátrixokhoz modulo . $\mathbb {Z} _{N}$ $N$

Definíció

Legyen egy mátrix vége . A mátrix lépéses formában van, ha megfelel a következő feltételeknek: ${\displaystyle A\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m))$ $\mathbb {Z} _{N}$

Legyen a nullától eltérő sorok száma . Ekkor a mátrix első sorai nem nullák, $r$ $A$ $r$
A esetén legyen a karakterlánc első nem nulla elemének indexe . Akkor . $1\leq i\leq r$ ${\displaystyle j_{i))$ $én$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\pontok <j_{r))$

Bármely lépéses mátrix egyszerűsíthető elemi transzformációkkal oly módon, hogy a következő feltételek teljesüljenek:

Bármelyik esetén a vezető elem egyenletesen osztódik , $1\leq i\leq r$ $A_{ij_{i))$ $N$
Bármilyen teljesített . $1\leq k<i\leq r$ $0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}$

A fenti feltételeket kielégítő mátrixról azt mondjuk, hogy redukált lépéses formában van .

Legyen a mátrix sorainak lineáris fesztávja . A redukált lépcsős mátrix Howell normál alakja , ha a következő feltétel is teljesül: $S(A)$ $A$

Legyen olyan eleme a karakterláncok lineáris spanjának , hogy bármely . Ekkor ahol egy mátrix, amely a -ediktől a -adik mátrixig terjedő sorokból áll . $v\in S(A)$ $A$ $v_{k}=0$ ${\displaystyle 1\leq k<j_{i))$ $v\in S(A_{i\dots m})$ ${\displaystyle A_{i\dots m))$ $én$ $m$ $A$

Tulajdonságok

Legyen mátrixok vége . A soraik vonalhossza akkor és csak akkor egyezik, ha Howell-féle normálformáik egyeznek. Például a mátrixokhoz ${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m))$ $\mathbb {Z} _{N}$

A={\begin{bmatrix}4&1&0\\0&0&5\\0&0&0\end{bmátrix)),B={\begin{bmatrix}8&5&5\\0&9&8\\0&0&10\end{bmátrix))

felett , a Howell-normál formájuk egybeesik, és a formája van $\mathbb {Z} _{12}$

H={\begin{bmatrix}4&1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

Irodalom

Howell J. A. Spans in the module (Z_m) ^ S (angol) // Lineáris és multilineáris algebra - Taylor & Francis , 1986. - Vol. 19, Iss. 1. - P. 67-77. — ISSN 0308-1087 ; 1026-7573 ; 1563-5139 - doi: 10.1080/03081088608817705
Storjohann A., Mulders T. Fast Algorithms for Linear Algebra Modulo N (angol) // Lect. Megjegyzés Számítás. sci. / G. Goos , J. Hartmanis , J. v. Leeuwen - Berlin , Heidelberg , New York, NY , London [stb.] : Springer , 1998. - P. 139-150. — ISSN 0302-9743 ; 1611-3349 - doi:10.1007/3-540-68530-8_12