Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenség

A Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenség egyenlőtlenség

c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}

általános formájú kompakt komplex felületek Zhen számai között . Ebben az egyenlőtlenségben a fő érdeklődés a vizsgált valós 4-es sokaság lehetséges topológiai típusainak korlátozása. Az egyenlőtlenséget egymástól függetlenül Yau [1] [2] és Miaoki [3] igazolta , miután Van de Ven [4] és Fedor Bogomolov [5] az egyenlőtlenség gyengébb változatát bizonyította 3 helyett 8-as és 4-es konstanssal.

Borel és Hirzebruch megmutatta, hogy az egyenlőtlenséget nem lehet javítani, ha végtelenül sok olyan esetet találunk, amikor az egyenlőség fennáll. Az egyenlőtlenség nem igaz a pozitív karakterisztikákra – Leng [6] és Easton [7] példákat hozott p karakterisztikus felületekre , mint például az általánosított Raynaud felület , amelyre az egyenlőtlenség nem áll fenn.

Állítás az egyenlőtlenségről

A Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenséget általában a következőképpen fogalmazzák meg.

Legyen X egy általános típusú kompakt komplex felület , és a felület komplex érintőkötegének első és második Zhen osztálya . Akkor $c_{1}=c_{1}(X)$ $c_{2}=c_{2}(X)$

c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.

Sőt, ha az egyenlőség fennáll, akkor X a labda tényezője. Az utolsó állítás Yau differenciálgeometria megközelítésének a következménye, amely a Calabi-sejtés feloldásán alapul .

Mivel az Euler topológiai karakterisztikája , és a Thom-Hirzebruch aláírástétel szerint hol van a metszésalak szignatúrája a második kohomológián, a Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenség átírható a topológiai típus korlátozásaként. általános felület: $c_{2}(X)=e(X)$ $c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)$ $\sigma (X)$

\sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),

és ráadásul ha , az univerzális burkolat egy labda. $\sigma (X)=(1/3)e(X)$

A Noether-egyenlőtlenséggel együtt a Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenség határokat szab az összetett felületek keresésében. Az összetett felületként megvalósítható topológiai típusok figyelembevételét felszínföldrajznak nevezzük . Lásd az Általános felületek cikket .

Felületek c 1 2 = 3 c 2

Legyen X általános típusú felület -val , így a Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenség egyenlő. Ilyen felületekre Yau [1] bebizonyította, hogy X egy végtelen diszkrét csoporttal izomorf az egységnyi golyótényezővel. Nehéz példát találni olyan felületekre, amelyekre érvényes az egyenlőség. Borel [8] kimutatta, hogy végtelenül sok érték létezik, amelyekhez felületek léteznek. Mumford [9] talált egy hamis projektív síkot -val , aminek a lehető legkisebb az értéke, mert mindig osztható 12-vel, míg Prasad és Yen [10] [11] , valamint Cartwright és Steger [12] azt mutatta ki, hogy pontosan 50 hamis projektív van. felületek . ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2))$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2))$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=9$ $c_{1}^{2}+c_{2}$

Barthel, Hirzebruch és Höfer [13] példát mutatott a keresési módszerrel, amely különösen X felületeket eredményez . Ishida [14] megtalálta egy ilyen felület c faktorát, és ha ennek a faktornak elágazás nélküli borításait vesszük, akkor c példákat kapunk bármely pozitív k esetén . Cartwright és Steger [12] talált példákat tetszőleges n pozitív egész számra . ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4))$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=9n$

Jegyzetek

↑ Yau 12. 1977 .
↑ Yau, 1978 .
↑ Miyaoka, 1977 .
↑ Van de Ven, 1966 .
↑ Bogomolov, 1978 .
↑ Lang, 1983 .
↑ Eastton, 2008 .
↑ Borel, 1963 .
↑ Mumford, 1979 .
↑ Prasad, Yeung, 2007 .
↑ Prasad, Yeung, 2010 .
↑ 1 2 Cartwright, Steger, 2010 , p. 11–13.
↑ Barthel, Hirzebruch, Höfer, 1987 .
↑ Ishida, 1988 .

Irodalom

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Az 50 hamis projektív sík felsorolása // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Donald I. Cartwright, Tim Steger. Az 50 hamis projektív sík felsorolása // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . — S. 11–13 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompakt komplex felületek. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Gottfried Barthel, Friedrich Hirzebruch , Thomas Höfer. Geradenkofigurationen und Algebraische Flächen. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1987. - (A matematika szempontjai, D4). — ISBN 978-3-528-08907-8 .
Fedor A. Bogomolov. Holomorf tenzorok és vektorkötegek projektív sokaságon // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Mathematicheskaya. - 1978. - T. 42 , sz. 6 . - S. 1227-1287 . — ISSN 0373-2436 .
Armand Borel . Szimmetrikus terek kompakt Clifford-Klein formái // Topológia. egy nemzetközi matematikai folyóirat . - 1963. -2. évf . 1-2 . – S. 111–122 . — ISSN 0040-9383 . - doi : 10.1016/0040-9383(63)90026-0 .
Donald I. Cartwright, Tim Steger. Az 50 hamis projektív sík felsorolása. Comptes Rendus Matematika. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348. - S. 11–13. - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Robert W. Easton. Bogomolov-Miyaoka-Yau-t sértő felületek pozitív karakterisztikában // Proceedings of the American Mathematical Society . - 2008. - T. 136 , sz. 7 . – S. 2271–2278 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-08-09466-5 .
Masa Nori Ishida. Mumford hamis projektív síkjával borított elliptikus felület // The Tohoku Mathematical Journal. második sorozat. - 1988. - T. 40 , sz. 3 . – S. 367–396 . — ISSN 0040-8735 . - doi : 10.2748/tmj/1178227980 .
William E. Lang. Aritmetika és geometria, 1. köt. II. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1983. - T. 36. - S. 167-173. - (Progr. Math.).
Yoichi Miyaoka. Az általános típusú felületek Chern-számairól // Inventiones Mathematicae . - 1977. - T. 42 , sz. 1 . – S. 225–237 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01389789 .
David Mumford . Egy algebrai felület K ample, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101. , 1. sz. 1 . – S. 233–244 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373947 . — .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Hamis projektív síkok // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , sz. 2 . – S. 321–370 . - doi : 10.1007/s00222-007-0034-5 . - arXiv : math/0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Kiegészítés a "Hamis projektív síkok"-hoz // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , sz. 1 . – S. 213–227 . - doi : 10.1007/s00222-010-0259-6 .
Antonius Van de Ven. Egyes összetett és csaknem összetett sokaságok Chern-számairól // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - Nemzeti Tudományos Akadémia, 1966. - V. 55 , no. 6 . - S. 1624-1627 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . — .
Shing Tung Yau. Calabi sejtése és néhány új eredmény az algebrai geometriában // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - Nemzeti Tudományos Akadémia, 1977. - V. 74 , 1. sz. 5 . - S. 1798-1799 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. Egy kompakt Kähler-sokató Ricci-görbületéről és az összetett Monge-Ampère egyenletről. I // Közlemények a tiszta és alkalmazott matematikáról . - 1978. - T. 31 , sz. 3 . – S. 339–411 . — ISSN 0010-3640 . - doi : 10.1002/cpa.3160310304 .