Nemlineáris Schrödinger-egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A nemlineáris vagy köbös Schrödinger-egyenlet ( NLS ) egy másodrendű nemlineáris parciális differenciálegyenlet , amely fontos szerepet játszik a nemlineáris hullámok elméletében , különösen a nemlineáris optikában és a plazmafizikában .

Az egyenlet így néz ki: [1]

i{\frac {\partial u}{\partial t))+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+\nu |u|^{2}u= 0

ahol egy komplex értékű függvény . $u(x, t)$

Jelentősége a fizikában

A nemlineáris Schrödinger-egyenlet egy hullámcsomag burkológörbéjét írja le egy közegben diszperziós és köbös nemlinearitású . Hasonló helyzet áll elő például az elektromágneses hullámok plazmában történő terjedésekor : egyrészt a plazma diszperzív közeg ; másrészt kellően nagy hullámamplitúdóknál megjelenik a ponderomotív nemlinearitás , ami bizonyos esetekben köbtaggal is közelíthető. Egy másik példa a fény terjedése nemlineáris kristályokban diszperzióval : sok esetben a másodfokú nemlinearitás kicsi vagy azonosan nulla a kristályrács központi szimmetriája miatt , ezért csak a köbtagot veszik figyelembe.

Döntések

A nemlineáris Schrödinger-egyenletre számos egzakt megoldást találtak, amelyek stacionárius nemlineáris hullámok. A megoldások különösen a forma függvényei

u(x,t)=\exp \left\{irx-ist\right\}v(x-Ut)

ahol r , s , U relációkkal összefüggő állandók:

r={\frac {U}{2}}\qquad s={\frac {U^{2}}{4}}-\alpha

és a függvény kielégíti az alak közönséges differenciálegyenletét $v(q)$

{\frac {d^{2}v}{dq^{2}}}-\alpha v+\nu v^{3}=0

ahol . Ennek az egyenletnek periodikus megoldásai cnoidális hullámok formájában vannak . Ezenkívül létezik egy szoliton típusú lokalizált megoldás: $\alpha =r^{2}-s$

v={\frac {\sqrt {2\alpha /\nu }}{\operátornév {ch} \left[{\sqrt {\alpha }}\left(x-Ut\right)\right]} }

Így a paraméter határozza meg a hullámok amplitúdóját, az U paraméter pedig a sebességüket . Érdekes, hogy a nemlineáris egyenlet szoliton megoldásai minőségileg egybeesnek egy másik fontos nemlineáris egyenlet, a Korteweg-de Vries (KdV) egyenlet szoliton megoldásaival, de egyrészt abban különböznek, hogy a szolitonok amplitúdója és sebessége független az NSE-ben. , míg a KdV-ben összefüggenek egymással, másodszor pedig az a tény, hogy az NLS-ben a lokalizált megoldások burkológörbe szolitonok, míg a KdV-ben valódi szolitonok. $\alpha$

A szoliton-megoldások különösen fontosak, mivel a nemlineáris Schrödinger-egyenlet stacionárius megoldásai instabilok és sok szolitonra bomlanak fel. A függvény tetszőleges kezdeti eloszlása esetén a megoldást az inverz szórási feladat módszerével találhatjuk meg . $\nu>0$ $u(x, t)$

Integrálok

A nemlineáris Schrödinger-egyenlet teljesen integrálható, és korlátlan számú mozgásintegrált tartalmaz . A következő integrálok példák:

I_{1}=\int |u|^{2}dx

I_{2}=\int {\frac {i}{2}}\left(\overline {u}{\frac {\partial u}{\partial x}}-u{\frac {\partial \overline { u}}{\partial x}}\right)dx

I_{3}=\int \left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x))\right|^{2}+\kappa |u|^{4}\right)dx

ahol az overbar a komplex konjugátum felvételét jelenti .

Irodalom

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integrálható rendszerek. I. - Dinamikus rendszerek - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (A matematika modern problémái. Alapvető irányok).
Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevsky L.P. A szolitonok elmélete: az inverz probléma módszere. - 1980. - 319 p.
Nemlineáris Schrödinger-egyenlet – Fizikai enciklopédia cikk

Jegyzetek

↑ J. Whitham. Lineáris és nemlineáris hullámok . - Mir, 1977. - S. 574-578. — 622 p.