Nem archimédeszi geometria

A nem archimédeszi geometria geometriai javaslatok összessége, amelyek az axióma szisztematikus csoportjaiból fakadnak: az euklideszi geometria Hilbert-féle axiomatikus rendszerének incidenciája, sorrendje, kongruenciája és párhuzamossága , és nem kapcsolódnak a folytonossági axiómákhoz (Arkhimédész axiómáival és a teljességgel). ). Szűk értelemben a nem archimédeszi geometria egy olyan egyenes geometriai tulajdonságait írja le, amelyre az arkhimédeszi axióma (nem archimédeszi egyenes) nem igaz. A nem archimédeszi geometriában a geometriai összefüggések tanulmányozásához bevezetik a szegmensszámítást - egy nem archimédeszi numerikus rendszert, amelyet speciális összetett numerikus rendszernek tekintenek. Meghatározzák a szegmens fogalmát, a szegmensek kapcsolatait, a szegmensek összeadását és szorzását. Különösen egy Desargues-féle számrendszer kerül bevezetésre, egy nem archimédeszi rendszer, amelyben a szegmensek szorzása nem kommutatív. Ezeknek a numerikus rendszereknek a segítségével a nem archimédeszi geometriában felépül az ábrák hasonlóságának elmélete , a területelmélet stb.

Tulajdonságok

A sokszögek területének elmélete, amely az ábrák területének nem archimédeszi síkon történő mérésének elméletét alapozza meg, a sokszögek egyenlő területeinek összeadás útján történő meghatározásán alapul, ami a nem archimédeszi geometriában általánosabb. az egyenlő összetétel fogalmához (egyenlő terület egybevágó háromszögpárokra bontva).

A nem archimédeszi geometriában vannak olyan háromszögek, amelyek magassága és alapja egyenlő, komplementere egyenlő, de összetétele nem azonos. A nem archimédeszi geometriában egyenlő komplementerű sokszögek területe azonos, és két azonos területmérettel rendelkező sokszög komplementere mindig egyenlő. A nem archimédeszi geometriában lévő derékszögű háromszögekre a Pitagorasz-tétel érvényes .

A nem archimédeszi tér szegmensszámítását használva affin (vagy projektív) koordináták rendszerét vezetjük be. Például két egyenes vonal van kiválasztva a síkon - a koordinátatengelyek egy fix ponton haladnak át, és mindegyik tengelyen egyedi szegmensek vannak megjelölve. Ebben az affin koordinátarendszerben az egyenes egyenlete lineáris, azaz alakja

ax+by+c=0

ahol , az egyenes pontjainak koordinátái, , , rögzített számok (szegmensek), és a rögzített szakaszok szegmensekkel való szorzása, és mindig a bal oldalon történik, és általában véve az egyenlet $x$ $y$ $a$ $b$ $c$ $x$ $y$

xa+yb+c

nem egy vonalat képvisel ebben a koordinátarendszerben.

A nem archimédeszi geometriát alkotó geometriai állítások rendszere az alapvető objektumok véges halmazából valósítható meg egy modellen: "pontok", "vonalak" stb. (itt minden "vonalon" egy végtelen szám létezése nem feltételezik). A nem archimédeszi geometria numerikus modelljeinek felépítése az úgynevezett transzfinit (nem archimédeszi) Hilbert-terekhez vezet. Az ilyen számteret a vonalon lineáris veronai térnek nevezzük .

Alkalmazások

A nem archimédeszi geometria jelentőségét az euklideszi tér Hilbert-féle axiomatikus rendszerének függetlenségének és konzisztenciájának vizsgálatában betöltött szerepe határozza meg . Az incidencia, sorrend, kongruencia és párhuzamosság axiómáinak megvalósítása a csoportok numerikus modelljén egyaránt bizonyítja a teljesség axiómáitól való függetlenségét és magának a nem archimédeszi geometriának a konzisztenciáját. Másrészt tisztázódik a folytonossági axiómák szerepe az euklideszi geometria Hilbert axiómáira épülő felépítésében is. Különösen a folytonossági axiómák nélkül lehetetlen bizonyítani az euklideszi párhuzamossági axióma ekvivalenciáját azzal a tétellel, hogy bármely háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

A nem archimédeszi geometria numerikus megvalósítása, amelyben a kommutatív szorzás törvénye nem szükséges, szintén fontos szerepet játszik a nem Pascal geometria felépítésében (lásd még Nedezarges geometria ).

Lásd még

Irodalom

Hilbert, D., A geometria alapjai, ford . németből., M.-L., 1948.