M-pontszámok

A maximális valószínűségi becsléseket (MLE) a következő feltételek egyike határozza meg:

\sum _{i}\ln P_{i}\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i}{\frac {\partial \ln P_{i)) {\partial \theta }}=0,\qquad \sum _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

ahol csoportosítatlan minta esetén és csoportos minta esetén, $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{i}}$

M-becslések – van egy bizonyos általánosítás a tömegpusztító fegyverekről. Hasonlóan határozzák meg őket az egyik reláció:

$\sum _{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta )\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i=1} ^{N}\phi (x_{i},\theta )=0$

Ha a behelyettesítésben szabályossági feltételt szabunk , és 0-hoz képest megkülönböztetjük : $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\partial }{\partial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}IF\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\partial ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ részleges t}}

0=IF\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\phi (x,T(F_{t,x}))

akkor nem nehéz megkapni az M-becslések befolyásoló függvényének kifejezését : $IF={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta }(x)\,\mathrm {d} F))$

Ez a kifejezés arra enged következtetni, hogy az M-becslések ekvivalensek egy nem nulla állandó tényezőig.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a szabványos normál eloszlási törvény MLE-jénél az eltolási paraméter és a skálaparaméter befolyásoló függvényei rendre úgy néznek ki: ${\mathcal {N}}(0,1)$ $IF$

IF=x,\quad IF={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Ezek a funkciók korlátlanok, ami azt jelenti, hogy az MLE nem robusztus a B-robusztusság szempontjából.

Ennek korrigálása érdekében az M-becslések mesterségesen korlátozzák, ezért korlátozzák (lásd az M-becslések kifejezését), felső gátat állítva a kiugró (a paraméterek várható értékétől távoli) megfigyelések hatására. Ez az úgynevezett csonka M-becslések bevezetésével történik, amelyeket a következő kifejezés határoz meg: $IF$ $IF$

$\phi _{b}(z)=\left\{{\begin{array}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{tömb}}\jobbra.$

ahol , és az eltolási és skálaparaméterek becslései. $z={\frac {x-\theta }{S}}$ $\theta$ $S$

A csonka M-becslések közül a csonka MLE optimális a B-robusztusság szempontjából.

Lásd még

Statisztikai robusztusság

Források

Robert G. Staudte: Robusztus becslés és tesztelés . Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Bevezetés a robusztus becslésekbe és a hipotézisek tesztelésébe . Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3