FitzHugh modell – Nagumo

A FitzHugh-Nagumo modell egy matematikai modell , amelyet Richard FitzHughról (1922-2007) neveztek el, aki 1961-ben publikálta [A: 1] [B: 1] a megfelelő differenciálegyenlet-rendszert, az úgynevezett Bonhoeffer-van der Pol modellt , és D. Nagumo (1926-1999) [1] , aki hasonló egyenletrendszert javasolt a következő évben.

Formális definíció

[A: 1] eredetileg a van der Pol egyenlet általánosításaként és Karl-Friedrich Bonhoeffer német kémikus által javasolt modellként származott .

A hagyományos Liénard-transzformációt [A: 2] használva :

y={\frac {\pont {x}}{c}}+{\frac {x^{3}}{3}}-x

FitzHugh átírta a van der Pol modellt Cauchy normál formában:

{\begin{cases}{\dot {x}}=c(y+x-{\frac {x^{3}}{3}})\\{\pont {y}}=-{ \frac {1}{c}}x.\end{cases}}

Továbbá új tagok hozzáadásával R. FitzHugh közönséges differenciálegyenlet-rendszert kap, amelyet "Bonhoeffer-van der Pol modellnek" nevezett el (az eredetiben: a Bonhoeffer-van der Pol modell (röviden BVP)) :

{\begin{cases}{\dot {x}}=c(y+x-{\frac {x^{3}}{3}}+z)\\{\pont {y}}= -{\frac {1}{c}}(x-a+by),\end{cases}}

ahol . Egy adott esetben ez a modell Van der Pol oszcillátorrá degenerálódik . $a,b>0$ $a=b=0$

1991- ben Arthur Winfrey[A: 3] tanulmányozta ezt a modellt egy kétdimenziós környezet esetében, és javasolta a modell különböző szerzői által írt változatainak osztályozását is. A modellbejegyzés R. FitzHugh által javasolt változata [A: 1] A. Winfrey szerintmegfelel az 1 formátumnak . A 4 [A:4] formátumban átírható így

{\begin{cases}\varepsilon {\dot {x}}=y+x-{\frac {x^{3}}{3}}+z\\{\pont {y}}=by -x+a.\end{cases}}

Kanonikus formájában [A: 4] így írják

\varepsilon {\ddot {x}}+(x^{2}-1){\dot {x}}+x-by-a=0

A Bohoeffer-van der Pol modellel, amelyet maga R. FitzHugh mutatott be 1961-ben, a biológiai tudományokban általánosan használt FitzHugh-Nagumo modell egybeesik a belső jelekkel. A fiziológiai folyamatok modellezésének hagyományában ezt a dinamikus rendszert a következőképpen írják:

{\begin{cases}{\dot {u}}=u-{\frac {u^{3}}{3}}-v+I_{\rm {ext}}\\\tau {\ pont {v}}=u+a-bv.\end{cases}}

ahol egy dimenzió nélküli függvény, amely hasonló egy biológiailag gerjeszthető szövet transzmembrán potenciáljához, és egy dimenzió nélküli függvény, amely hasonló a lassú helyreállítási áramhoz. Az egyenletrendszer paramétereinek bizonyos kombinációjával mindent vagy semmit válasz figyelhető meg : ha egy külső inger túllép egy bizonyos küszöbértéket, a rendszer jellegzetes oda-vissza mozgást (kimozdulást) fog mutatni a fázistérben, amíg a változók ill . ne "lazulj" az előző állapotokhoz. Ez a viselkedés jellemző a neuronban külső bemeneti jel által gerjesztett tüskékre . $u$ $v$ $I_{\text{ext}}$ $v$ $w$

Ennek a rendszernek a dinamikája úgy írható le, mint a köbös nullizoklin bal és jobb ága közötti váltás .

Jelentősége a tudományban

Ez a modell egy példa a szingulárisan perturbált rendszerekre [B: 2] és relaxációs oszcillációk lépnek fel benne .

Míg a van der Pol egyenlet (és a megfelelő rendszer) egy fogalmi határciklus -modell, a Bonhoeffer-van der Pol egyenlet (és a megfelelő rendszer) az autohullámfolyamatok fogalmi modelljeként van besorolva . Ennek alapján számos tárgyi, formálisan kinetikai kémiai és biológiai oszcillációs rendszer modellt hoztak létre. Széles körben használják " nagyszámú biofizikai probléma alapmodelljeként ". [2]

Szerep a fiziológiában

A fiziológiában egy gerjeszthető szövet (például egy neuron) viselkedését használják fogalmi matematikai modellként. A FitzHugh-Nagumo modell a Hodgkin-Huxley modell leegyszerűsített változatának tekinthető , amely részletesen elmagyarázza a pulzáló neuron aktiválásának és deaktiválásának dinamikáját.

A késleltetés és a memória bifurkációs jelenségei

Azt javasolták [A: 4] , hogy a „ bifurkációs memória ” legkorábbi megfigyelései a FitzHugh által 1961-ben leírt jelenségek [A: 1] : a fázispályák egy része a szeparatrix mentén mozog. FitzHugh a „kvázi küszöbjelenségek” szavakkal jelöli őket, ezzel is hangsúlyozva azt a tényt, hogy a kísérletei során kapott eredmények jelentősen eltértek azoktól, amelyeket általában megfigyeltek az ingerlhető szövetek fiziológiájával foglalkozó kísérleti munkák során, és amelyeket a fiziológusok „minősítésnek” neveztek. küszöbhatás” vagy válasz a „ mindent vagy semmit ” elv szerint.

1989-ben további eredményeket tettek közzé a FitzHugh-Nagumo rendszerben a késleltetés és a memória bifurkációs jelenségeivel kapcsolatban. [A:5]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Hasonló megoldást javasolt Jin'ichi Nagumo, Suguru Arimoto és Shuji Yoshizawa. [egy]
↑ Miscsenko, 1995 , 2. fejezet, p. 114–132.

Irodalom

Könyvek

↑ FitzHugh R. A gerjesztés és terjedés matematikai modelljei idegben. 1. fejezet // Biological Engineering (angol) / HP Schwan. - N. Y .: McGraw-Hill Book Co., 1969. - P. 1-85.
↑ Miscsenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodikus mozgások és bifurkációs folyamatok szingulárisan perturbált rendszerekben . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 p. — ISBN 5-02-015129-7 . (Orosz)

Cikkek

↑ 1 2 3 4 FitzHugh R. Impulzusok és élettani állapotok az ideghártya elméleti modelljeiben // Biophys . J. : folyóirat. - 1961. - 1. évf. 1 . — P. 445–466 .
↑ Liénard A. Étude des oscillations entretenues (francia) // Revue Générale de l'Électricité : folyóirat. - 1928. - 1. évf. 23 . — P. 901–912, 946–954 .
↑ Winfree AT A spirálhullám viselkedésének változatai: Egy kísérletező megközelítése a gerjeszthető közegek elméletéhez // Káosz : folyóirat. - 1991. - 1. évf. 1 , sz. 3 . — P. 303–334 .
↑ 1 2 3 Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. Az oszcillációk elméletének jelenlegi állásáról // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh : folyóirat. - 2019. - 44. sz . – S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 . (Orosz)
↑ Baer SM , Erneux T. , Rinzel J. [ http://www.jstor.org/stable/2102057 A lassú áthaladás a Hopf bifurkáción: késleltetés, memóriahatások és rezonancia] // SIAM J. Appl. Math. : magazin. - 1989. - 1. évf. 49 , sz. 1 . — P. 55–71 .

További olvasnivalók

FitzHugh R. (1955) Az ideghártya küszöbjelenségeinek matematikai modelljei. Bika. Math. Biophysics, 17:257-278
Nagumo J., Arimoto S. és Yoshizawa S. (1962) Egy idegi axont szimuláló aktív impulzusátviteli vonal. Proc. I.R.E. _ 50:2061–2070.

Linkek

FitzHugh–Nagumo modell a Scholarpedián
Interaktív FitzHugh-Nagumo. A Java alkalmazások fázisteret és paramétereket tartalmaznak, amelyek bármikor módosíthatók.
Interaktív FitzHugh–Nagumo 1D-ben. Java alkalmazás gyűrűben terjedő egydimenziós hullámok modellezésére. A paraméterek szintén bármikor módosíthatók.
Interaktív FitzHugh–Nagumo 2D-ben. Java alkalmazás 2D hullámok modellezésére, beleértve a spirálhullámokat is. A paraméterek szintén bármikor módosíthatók.
Java kisalkalmazás két csatolt FHN rendszerhez A paraméterek közé tartozik a csatlakozási késleltetés, az önreakció, a zajkifutás, az adatok fájlba exportálása. Forráskód elérhető (BY-NK-SA licenc).