Danzer készlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek . Megoldatlan problémák a matematikában : Van-e Danzer-halmaz korlátos sűrűségű vagy korlátos elválasztási fokkal?

A Danzer halmaz azon pontok halmaza, amelyek bármely egységnyi térfogatú konvex testet érintenek. Ludwig Danzer megkérdezte, hogy lehetséges-e ilyen korlátos sűrűséghalmaz [1] [2] . A probléma egyes változatai megoldatlanok maradnak.

Sűrűség

A probléma formálisabb megfogalmazásának egyik módja, ha figyelembe vesszük egy halmaz növekedési sebességét a dimenziós euklideszi térben, amely függvényként definiálható, amely valós számokat képez le az origótól távol eső pontokra . Danzer kérdése az, hogy egy Danzer-halmaznak lehet-e növekedési üteme , azaz teljesen elhelyezett ponthalmazok növekedési üteme, hasonlóan egy egész rácshoz (ami nem Danzer-halmaz) [2] . $S$ $d$ $r$ $S$ $r$ $O(r^{d})$

Lehetőség van egy Danzer-halmaz felépítésére, amelynek növekedési üteme féllogaritmusos együtthatón belül van . Például téglalap alakú rácsok kivetésekor, amelyek cellái állandó térfogatúak, de eltérő arányúak , növekedési ütemet lehet elérni [3] . A Danzer-készletek konstrukciói valamivel alacsonyabb növekedési ütemmel ismertek , de Danzer kérdésére a válasz ismeretlen [4] . $O(r^{d})$ $O(n^{d}\log ^{d-1}n)$ $O(r^{d}\log r)$

Korlátozott terjedelem

A probléma egy másik változata, amelyet Timothy Gowers javasolt , azt kérdezi, hogy létezik-e olyan Danzer-halmaz , amelynél van véges korlát a metszéspontok számára és bármely egységnyi térfogatú konvex testre [5] . Ezt a változatot sikerült megoldani – ilyen Danzer-készlet lehetetlen [6] . $S$ $C$ $S$

Elválasztás

A probléma harmadik változata, amely továbbra is megoldatlan, a Conway döglött légy probléma . Conway, John Horton felidézte, hogy gyerekkorában egy olyan tapétával aludt, amely úgy nézett ki, mint egy csomó döglött légy, és megpróbált találni egy domború területet, amely nem tartalmazott legyeket [7] . Conway megfogalmazásában a kérdés az, hogy létezik-e olyan Danzer-halmaz, amelyben a halmaz pontjai (döglött legyek) korlátozott távolságra vannak elválasztva egymástól. Egy ilyen halmaznak szükségszerűen van felső korlátja a sík egyes pontjai és a döglött légy közötti távolságok tekintetében is (hogy az egységnyi terület körének minden pontját érintse), tehát Delaunay halmazt kell alkotnia, egy olyan halmazt, amely mind a nullától eltérő alsó korlátot, mind a pontok közötti véges távolságkorlátot. Ennek a készletnek szükségszerűen növekedési üteme lesz , tehát ha létezik, akkor meg kell oldania a Danzer-probléma eredeti verzióját is. Conway 1000 dollár díjat ajánlott fel a [8] probléma megoldásáért egy olyan feladatsor részeként, amely magában foglalja Conway 99 csúcsos gráfproblémáját , az érmejáték elemzését és a trackle sejtést [8] . $O(r^{d})$

További tulajdonságok

Más módon is korlátozhatjuk a ponthalmazok osztályait, amelyek Danzer-halmazként szolgálhatnak. Konkrétan nem lehetnek rácsok véges halmazának uniói [3] , nem képezhetők úgy, hogy minden helyettesítő lapkából kiválasztunk egy pontot (azonos típusú lapkához ugyanabban a helyzetben), és nem generálhatók kivágással. -és-projekt aperiodikus mozaikok építése . Ezért a "Pinwheel" csempe és a Penrose csempe csúcsai nem Danzer halmazok [4] .

Lásd még

A Heilbronn-feladat háromszögekre a nem kis területű pontok halmazán.
Minkowski tétele , amely szerint bármely egységnyi térfogatú zárt konvex test, amelynek szimmetriaközéppontja az origóban van, egy félegész rács nullától eltérő számú pontját tartalmazza.

Jegyzetek

↑ Fenchel, 1967 , p. 308–325 6. feladat (Danzer).
↑ 1 2 Croft, Falconer, Guy, 1991 , p. 148.
↑ 1 2 Bambah, Woods, 1971 , p. 295–301.
↑ 1 2 Solomon, Weiss, 2016 , p. 1053–1074.
↑ Gowers, 2000 , p. 79–117.
↑ Solan, Solomon, Weiss, 2017 , p. 6584–6598.
↑ Roberts, 2015 , p. 382.
↑ 12 Conway , 2017 .

Irodalom

John Horton Conway Öt 1000 dolláros probléma . — On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , 2017. Lásd még: Sablon:OEIS el.
Bambah RP, Woods AC Danzer problémájáról // Pacific Journal of Mathematics. - 1971. - T. 37 .
Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, Richard K. Guy . E14: Konvex halmazok pozicionálása diszkrét halmazokhoz // Megoldatlan problémák a geometriában . - Springer-Verlag, New York, 1991. - 148. o . — (Matematikai feladatkönyvek). — ISBN 0-387-97506-3 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0963-8 .
Werner Fenchel . Problémák // Proceedings of the Colloquium on Convexity, Copenhagen, 1965. - Koppenhága: Kobenhavns Universitets Matematiske Institut, 1967.
Durva szerkezet és osztályozás // Geometriai és funkcionális elemzés. - 2000. - Kiadás. Különkötet, I. rész. - doi : 10.1007/978-3-0346-0422-2_4 .
Siobhan Roberts. Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway . - New York: Bloomsbury Press, 2015. - ISBN 978-1-62040-593-2 .
Omri Solan, Yaar Solomon, Barak Weiss. Danzer és Gowers problémáiról és a dinamikáról a zárt részhalmazok terén // International Mathematics Research Notices. - 2017. - Kiadás. 21 . - doi : 10.1093/imrn/rnw204 . - arXiv : 1510.07179 . $\mathbb{R}^d$
Yaar Solomon, Barak Weiss. Sűrű erdők és Danzer-halmazok // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 2016. - T. 49 , sz. 5 . - doi : 10.24033/asens.2303 . - arXiv : 1406.3807 .