Lassan változó amplitúdók módszere

A lassan változó amplitúdók módszerét ( MMMA , esetenként Van der Pol módszer ) [1] olyan nemlineáris egyenletek közelítő megoldására használják, amelyek közel állnak a lineárishoz, és az oszcillációk közel állnak a harmonikushoz [2] . A módszer azon a feltételezésen alapul, hogy a hullám amplitúdója (burkológörbe) lassan változik időben és térben a hullámperiódushoz képest.

A módszert alkalmazzák például a sugárfizikában [3] , a nemlineáris optikában [4] [5] [6] .

Példa

Tekintsük az elektromágneses hullám egyenletét :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2))}= 0,

ahol k 0 és ω 0 a hullámvektor és a hullám szögfrekvenciája E ( r , t ), és használja a következő ábrázolást:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\jobbra],

ahol a valós részt jelöli. $\scriptstyle \Re [\cdot ]$

A lassan változó amplitúdó - közelítésben az E 0 ( r , t ) komplex amplitúdóról feltételezzük, hogy lassan változik r -vel és t -vel . Azt is feltételezi, hogy E 0 ( r , t ) egy k 0 irányban előre terjedő hullámot jelent . Az E 0 ( r , t ) lassú változása következtében a magasrendű származékok figyelmen kívül hagyhatók: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

és ,

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

A közelítés alkalmazása és a magasabb deriváltok nullázása után a hullámegyenlet a következőképpen lesz felírva:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Figyelembe véve azt a tényt, hogy k 0 és ω 0 kielégíti a diszperziós összefüggést :

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

kapunk:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ részleges E_{0}}{\részleges t}}=0.

Ez egy hiperbolikus egyenlet , mint az eredeti hullámegyenlet, de most inkább első, mint másodrendű. Igaz a k 0 -hoz közeli irányban terjedő koherens hullámokra . Gyakran egy ilyen egyenlet sokkal könnyebben megoldható, mint az eredeti.

Parabolikus közelítés

Tekintsük a terjedést a z irányban , azaz k 0 || z .Akkor a módszer csak a z -koordináta és az idő szerinti deriváltokra vonatkozik . Ha a Laplace operátor az x - y síkban van, akkor a következő eredményt kapjuk: ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2))$

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Ez egy parabola egyenlet , ezért a közelítést parabola közelítésnek is nevezik [8] .

Lásd még

Linkek

↑ Balth. van der Pol jún. D. Sc. (1927) VII. Kényszer rezgések nemlineáris ellenállású áramkörben. (Fogadás reaktív triódával), The London, Edinburgh és Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
↑ Papaleksi N D, Andronov A A, Gorelik G S, Rytov S M "Néhány kutatás a nemlineáris rezgések területén a Szovjetunióban 1935 óta" 33, 335-352 (1947)
↑ Andreev V.S. A nemlineáris elektromos áramkörök elmélete: Tankönyv egyetemek számára. - M .: Rádió és kommunikáció, 1982. - 280 p.
↑ Arecchi, F.T. & Bonifacio, R. IEEE, J. Quantum Electron. 1, 169-178 (1965).
↑ Sizmin D.V. "Nemlineáris optika", Sarov: SarFTI, 2015. - 147 p.
↑ RW Boyd (2008). Nemlineáris optika (harmadik kiadás). Orlando: Academic Press.
↑ Butcher, Paul N. A nemlineáris optika elemei / Paul N. Butcher, David Cotter. — Reprint. - Cambridge University Press , 1991. - P. 216. - ISBN 0-521-42424-0 .
↑ Svelto, Orazio. A lézersugarak önfókuszálása, önbefogása és önfázisú modulációja // Progress in Optics . - Észak-Hollandia , 1974. - Vol. 12. - P. 23–25. - ISBN 0-444-10571-9 .