Kummer módszer

Kummer módszere – a számsorok elméletében E. Kummer javasolta azt a módszert, amely lehetővé teszi, hogy egy adott sorozatot lecseréljünk egy másikra, amely gyorsabban konvergál .

Tegyük fel, hogy van egy konvergens számsor, és ennek összegét meg kell találni adott pontossággal. Ennek a sorozatnak a konvergenciájának növelésére a Kummer-módszert alkalmazzuk, amely a következőkből áll. Ismert összegű sorozatot választunk ki úgy, hogy a különbség $a_k$ ${\displaystyle b_{k))$

c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty

Ebben az esetben az érték olyan összegként ábrázolható, ahol a sorozat gyorsabban konvergál, mint az eredeti sorozat, és a sorozat összege ismert. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy a második esetben egy sorozat összegét adott pontossággal megkapjuk, a sorozatból kisebb számú tagot kell venni . ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k))$ ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k))$ ${\displaystyle c_{k))$ ${\displaystyle b_{k))$ ${\displaystyle c_{k))$

Például a sorozatok konvergenciájának növelésére

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2))))

a közelben használható

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)))=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\ tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1

amelynek összege ismert, és írja le

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\ tfrac {1}{k^{2}(k+1)}}

A Kummer-transzformáció nem az eredeti sorozat összes tagjára alkalmazható, hanem csak a sorozat tagjaira, egy bizonyos helyről indulva. Ebben az esetben az eredeti sorozat több tagja változatlan marad.

Irodalom

Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. 2. kötet, 415. o.