Kink (matematika)

A kink a téregyenletek megoldása néhány dimenziótérelméletben , amely interpolál két vákuum között, amikor a térbeli koordináta -ról -ra változik . A kink a legegyszerűbb topológiai szoliton . $1+1$ $-\infty$ $+\infty$

Meghajlás egy valós skalármező modelljében

Tekintsük [1] egy valós skalármező elméletét egy dimenziótérben a cselekvéssel $1+1$

S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right ],

hol van a mezőpotenciál, , és $\phi$ $\mu=0,1$

V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+ {\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~ v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}.

A cselekvés diszkrét transzformáció esetén invariáns ; ez a szimmetria spontán módon megbomlik, mivel a klasszikus vákuum egyenlő . $\phi =-\phi$ $\phi ^{vac}=\pm v$

A legkisebb cselekvés elve alapján megkapjuk a téregyenletet

\phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi ))=0.

A téregyenletek statikus, azaz időfüggetlen megoldását fogjuk keresni. Ebben az esetben a mezőegyenlet -re redukálódik

\phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,

ahol a prím jelöli a deriváltot a térbeli koordinátához képest. A kapott egyenletnek a következő megoldása van:

\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\ lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}x)},

hol van az integráció állandója. Ez a megoldás a legegyszerűbb statikus törés , amely interpolál a vákuumok között , és amikor a térbeli koordináta -ról -ra változik . Az aláírt megoldást antikink -nek nevezzük . $x_{0}$ $-v$ $+v$ $-\infty$ $+\infty$ $-$

Megoldás tulajdonságai

A törés mérete nagyságrendileg , azaz az elemi gerjesztés Compton hullámhosszának nagyságrendje. Valóban, a törés energiasűrűsége ${\displaystyle r_{k}=\mu ^{-1))$

\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{ \frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2))}(x-x_{0)))))

csak a régióban tér el jelentősen a nullától . ${\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k))$

A törés statikus energiája az

\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},

ahol az elemi gerjesztés tömege. $m={\sqrt {2}}\mu$

A kapott megoldás nem invariáns térbeli fordítások és Lorentz-transzformációk esetén. Ezek a transzformációk azonban a mezőegyenletek megoldásait más megoldásokká fordítják le. A fordítások és a Lorentz-transzformáció alkalmazásával a következő nem statikus megoldáscsaládot kapjuk:

\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}{\frac {(x- x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2)))))},

hol van a mozgó csavarodás sebessége. $u$

Meghajlás egy komplex skalármező modelljében

Tekintsük [1] egy komplex skalármező elméletét egy dimenziótérben a Lagrange -vel. $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac { \lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.

A legkisebb cselekvés elve a következő mezőegyenletekhez vezet:

\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi )),

{\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^ {2}\phi .

Az így kapott egyenleteknek van egy valós skalármező elméletéből származó kink megoldása

\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2} }}x)}.

Kink a szinusz-Gordon egyenletben

Tekintsük [1] egy valós skalármező elméletét egy dimenziótérben a Lagrange -vel $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1] .

A legkisebb cselekvés elve az egyenlethez vezet

\phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v))=0,

amelyet a szinusz-Gordon egyenletre való behelyettesítéssel redukálunk $x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v))$

\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,

amelynek a következő sajátos megoldásai vannak [2] , amelyek a sebességgel mozgó csavarodásokat jelölik , interpolálva a vákuumok között és a váltáskor : $v$ $\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$ $\phi _{0}+2\pi$ $x$ $-\infty$ $+\infty$

\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}- 1}}}+\delta \jobbra]\jobbra\},

ahol egy tetszőleges állandó. A jel a törésnek, a jel az antikinknek felel meg. $\delta$ $+$ $-$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 * Rubakov V.A. Klasszikus szelvénymezők. Bozonikus elméletek. - M . : KomKniga, 2005. - S. 133-143. — 296 p.
↑ * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Matematikai fizika nemlineáris egyenletek kézikönyve. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 144. - 432 p.

Irodalom

T. I. Belova , A. E. Kudrjavcev, Szolitonok és kölcsönhatásaik a klasszikus térelméletben
VA Gani, AE Kudryavtsev, MA Lizunova, Kink interakciók az (1+1)-dimenziós φ 6 modellben, Phys. Fordulat. D 89, 125009 (2014) ; [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Archiválva : 2016. december 20., a Wayback Machine arXiv:1402.5903 [hep-th]].
VA Gani, V. Lensky, MA Lizunova, Kink gerjesztési spektrumok az (1+1)-dimenziós φ 8 modellben, JHEP 08 (2015) 147 ; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Archiválva 2016. december 20-án a Wayback Machine -nél arXiv:1506.02313 [hep-th]].