Jackson integrál

A Jackson-integrál a speciális függvények elméletében a q-deriváció inverz műveletét tükrözi .

A Jackson integrált Frank Hilton Jackson vezette be.

Definíció

Legyen egy valós változó függvénye . A Jackson-integrál a következő sorozatként van definiálva: $f(x)$ $x$ $f$

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k} f(q^{k}x).

Ha ez egy másik függvény, és annak -származékát jelenti, akkor formálisan felírható: $g(x)$ $D_{q}g$ $q$

\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\ infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{ \infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q ^{k}x}},

vagy:

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\ cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),

Az eredmény a Riemann-Stieltjes integrál -analógja . $q$

A Jackson-integrál q-származékként

Ahogy a folytonos leképezés szokásos antideriváltja a Riemann integrállal reprezentálható , úgy a Jackson integrál egyedi q -antideriváltot ad a függvények bizonyos osztályaira (lásd Kempf és Majid [1] cikkeit ).

Tétel

Ha ezt feltételezzük, és ha az érték korlátos az intervallumhoz , akkor a Jackson-integrál egy függvényhez konvergál , amely a q - deriváltja . Ezenkívül folytonos a c -n , és egy antiderivatív függvény ebben a függvényosztályban [2] . $0<q<1$ $|f(x)x^{\alpha }|$ $[0,A)$ $0\leqslant \alpha <1,$ $F(x)$ $[0,A)$ $f(x)$ $F(x)$ $x=0$ $F(0)=0$ $f(x)$

Jegyzetek

↑ Kempf, Majid, 1994 , p. 6802.
↑ Kac, Cheung, 2002 , p. 19.1. Tétel.

Irodalom

Victor Kac, Pokman Cheung. Quantum Calculus. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Jackson FH A Γ(n) és x n függvények általánosítása // Proc. R. Soc. - 1904. - T. 74 . – S. 64–72 .
Jackson FH q-határozott integrálokon // QJ Pure Appl. Matek.. - 1910. - T. 41 . – S. 193–203 .
Algebrai q-integráció és Fourier-elmélet a kvantum- és fonott terekről // J. Math. Phys.. - 1994. - Issue. 35 . - S. 6802 . - doi : 10.1063/1.530644 .
Kempf A., Majid S. Algebrai q-integráció és Fourier-elmélet kvantum- és fonott terekről, arxiv változat . Letöltve: 2015. április 24. (határozatlan)