Időtartam

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. január 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Duration ( angolul Duration - " duration ") - a fizetési folyamat súlyozott átlagos futamideje , a súlyok pedig a fizetések diszkontált költségét jelentik. A pénzforgalom legfontosabb jellemzője a futamidő, amely meghatározza aktuális értékének érzékenységét a kamatláb változásaira . Az áramlás időtartama nem csak a szerkezetétől függ, hanem az aktuális kamatlábtól is. Minél magasabb a ráta, annál kisebb a hosszú lejáratú fizetések költségének aránya a rövidekhez képest, és minél rövidebb a futamidő, és fordítva, minél alacsonyabb a ráta, annál hosszabb a fizetési folyamat időtartama.

Az időtartam fogalmát F. Macaulay ( eng. FR Macaulay ) amerikai tudós vezette be.

Definíció, számítási képlet és értelmezés

Időtartam - súlyozott átlag

A nem opciós kötvények futamidejét a súlyozott átlag képlet alapján számítják ki az alábbiak szerint:

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum _{i}PV_{i}}}={ \frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}}

vagy

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}} \cdot t_{i}}{\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},

ahol:

{\displaystyle CF_{i))

— th fizetés;

én

r

- diszkontráta , alternatív befektetés hozama időegységenként (év, negyedév stb.);

r_{c}

- a folyamatos kamatfelhalmozás diszkontrátája;

PV_{i}

— az i - edik fizetés diszkontált értéke ;

t_{i}

— az i - edik fizetés időpontja;

Ennek a képletnek a nevezője a cash flow jelenértékének becslése egy adott diszkontráta mellett. Ha a cash flow-t egy olyan pénzügyi eszköz generálja, amelynek piaci (vagy más) értékelése van az aktuális árról, akkor a diszkontráta ebben az esetben ennek az eszköznek a belső hozama (kötvényeknél a lejáratig tartó hozam ). Ezt az arányt az egyenlőségből határozzuk meg $P$

P=PV(r)=\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.

Feltételezzük, hogy a piac hatékonyan határozza meg a szükséges diszkontrátát, és tükrözi a hasonló kockázati szintű instrumentumok megkívánt hozamát.

Az időtartam a kamatlábkockázat mértéke

Ha a pénzáramlás diszkontált értékét a kamatláb függvényének tekintjük, akkor megmutathatjuk, hogy a pénzáramlás időtartama megegyezik a cash flow kamatláb (vagy ennek megfelelője) diszkontált értékével. , a rugalmasság ellentétes előjelével felvéve (logaritmikus derivált) , azaz $1+r$

D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)))=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)} }=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.

Következésképpen,

dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).

Kisebb díjmódosításokkal a különbségek egyszerűen helyettesíthetők változtatásokkal:

\delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).

Így a futamidő lehetővé teszi az eszköz piaci árának a kamatláb változásaitól való függésének egyszerűsített értékelését. Minél hosszabb az eszköz futamideje, annál nagyobb a piaci értékének változása a kamatlábak változása esetén, vagyis annál nagyobb a kamatlábkockázat .

Módosított időtartam

Ha a fenti közelítő egyenlőségben az úgynevezett módosított időtartamot használjuk egyenlő

MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),

A kamatláb-érzékenység értékelése egyszerűsödik:

\delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.

Megjegyzés

A (módosított) futamidőt használó cash flow valós értékében bekövetkező lehetséges változás becslésekor figyelembe kell venni ennek a becslésnek a hozzávetőleges jellegét. Sőt, a mennyiségi pontatlanságok mellett minőségi különbség is van a valódi függés és a duráció vagy módosított időtartam segítségével linearizált között: a kamatláb azonos pozitív és negatív változásai azonos abszolút értékben befolyásolják az árváltozást. A valóságban ez nem így van – az ár aszimmetrikusan változik a kamatláb növekedésével és csökkenésével, vagyis a kamatláb csökkentése nagyobb áremelkedéshez vezet, mint az ár csökkentése, ha a kamatlábat ugyanazzal az abszolút értékkel emelik. A pontosítás (mind mennyiségi, mind minőségi) céljából az időtartam mellett az ún. cash flow konvexitást is alkalmazzuk , ami egy másodrendű korrekció. Ez az árváltozáshoz való alkalmazkodás az árfolyamváltozás négyzetétől függ (azaz nem függ az előjeltől), tehát a kamatlábak emelkedésekor csökkenti az árcsökkenés időtartama által előre jelzett mértékét, az árfolyam csökkenésekor pedig növeli az időtartam alapján becsült növekedést. Így az aszimmetriát is figyelembe veszik, és a becslést mennyiségileg megadják.

A pontosabb becslés másik változata azon a tényen alapszik, hogy a minőségi pontatlanság nemcsak (és nem is annyira) a linearizáláshoz kapcsolódik, hanem a logaritmusváltozások szokásos növekedési ütemekkel való helyettesítéséhez is. Ha magukat a logaritmusokat használjuk, akkor a becslések minőségileg megfelelőbbek lesznek a valódi függéshez (bár előfordul egy mennyiségi pontatlanság is):

\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).

Ebből a hányadosból az aktuális érték változásának a következő valósabb közelítő függése adódik:

\delta PV\approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.

Ebben a függőségben természetesen az aszimmetriát is figyelembe veszik (ez a számítási módszer pontosabb, de a függőség nemlinearitása miatt valamivel kevésbé kényelmes).

További értelmezés

Figyelembe véve a fenti utolsó közelítő egyenlőséget, az időtartamnak még egy értelmezése adható. Fontolja meg, hogyan változik megközelítőleg az áramlás jelenlegi költsége, ha a kamatláb nullára csökken ( ): $\Delta r=0-r=-r$

\delta PV\approx (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.

Következésképpen

P(0)\approx P(r)(1+r)^{D}.

Nyilvánvaló, hogy - a készpénzforgalom teljes összege. Így a futamidő (adott árfolyamon) úgy is értelmezhető, mint egy hozzávetőleges időszak, amelyre egy összeget egy árfolyamon kell befektetni ahhoz, hogy az időszak végén a teljes pénzforgalommal megegyező összeget kapjon. Ez az értelmezés annál pontosabb, minél alacsonyabb az arány. $P(0)=\összeg _{i}CF_{i}$ $P(r)$ $r$

Egyes fizetési folyamatok időtartama

A járadék időtartama

Kimutatható, hogy a T futamidővel korlátozott járadék időtartama a következő értékkel egyenlő:

D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.

A módosított időtartamot úgy kaphatjuk meg, hogy elosztjuk -val . $1+r$

Itt a képlet magában foglalja a járadékintervallum effektív kamatlábait, valamint a futamidőt és időtartamot a járadékintervallumokban is. Ha az éves effektív rátát használjuk, akkor az években kifejezett időtartamra a képlet a következő:

D=t\times {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^ {T}-1}},

ahol a járadékintervallum időtartama években (az év töredéke), a járadék futamideje években, az éves effektív kamatláb. t = 1 esetén az előző képletet kapjuk. $t$ $T$ $r$

Örökjáradék esetén az időtartam képlet a fenti képlet határértékeként definiálható (a második tag ebben az esetben nullára változik). A képletet közvetlenül is származtathatja. Az örökjáradék jelenértéke . Használjuk a képletet a deriválton keresztül. Ennek a függvénynek a deriváltja -ra nézve nyilvánvalóan egyenlő a -val . Ezt az értéket megszorozva -vel és elosztva -val , végül megkapjuk az időtartam képletét: $T\rightarrow\infty$ $PV=A/r$ $r$ $-A/r^{2}$ $(1+r)$ $PV$

D=(1+r)/r.

A módosított időtartam nyilvánvalóan egyenlő ebben az esetben . $MD=1/r$

Kötvény időtartama

A lejárati dátummal rendelkező zéró kamatozású kötvénynél a jelenérték a $N$ $t$

PV=N/(1+r)^{t}.

Egybeesik az egyszeri kifizetés diszkontált értékével is, tehát futamideje egyszerűen megegyezik a kötvény futamidejével:

D=t.

A kamatszelvény kötvény esetében a pénzforgalom a kamatszelvény kifizetésekből és a névérték visszaváltásából áll. Ebben az esetben a névérték törlesztése történhet részletekben (amortizáció), és a kamatláb általában a kötvény forgási ideje alatt változhat. Ha a kuponok értékét jelöli , és a névérték visszaváltása , akkor a kötvény futamideje egyenlő lesz $C_{i}$ $N_{j}$

D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+ \sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},

ahol a kötvény árfolyama (feltételezzük, hogy a kötvény lejárati hozamát használjuk értékként, ezért ). $P$ $r$ $PV(r)=P$

A képlet pontosan ugyanilyen formájú lesz, ha a kuponok értéke helyett a megfelelő kamatlábakat, a névérték törlesztési összegei helyett - a névérték törlesztésének hányadát, illetve a kuponok árfolyama helyett a névérték törlesztőrészletét használjuk. kötvény pénzben kifejezve , használja a standard árat a névérték százalékában (részvényekben). $C_{i}$ $N_{j}$ $P$

Ceteris paribus, minél hosszabb a futamidő és (vagy) minél alacsonyabb a kamatláb és (vagy) minél alacsonyabb a lejáratig számított hozam, annál hosszabb a kötvény futamideje. Ha egyéb feltételek nem változnak, minél gyakrabban fizetik ki a kupont, annál rövidebb az időtartam.

Állandó kamatláb és a futamidő végén a névérték egyösszegű beváltása esetén a legegyszerűbb esetben a Microsoft Office Excel 2007-be épített DURATION függvényt használhatja az időtartam kiszámításához .

Példa

Adjanak egy 1000 rubel névértékű kuponos kötvényt, amelynek hátralévő futamideje 2 év 3 hónap. A kötvény visszaváltása a futamidő végén egy összegben történik. Kupon hozam - 12% évente. A kuponfizetés gyakorisága évi 4-szer (azaz a kupon mérete 30 rubel). Feltételezhető, hogy az első kupon is 3 hónap múlva várható. A kötvény jelenlegi piaci ára 1035,85 rubel.

A kötvényből származó cash flow (negyedéves) (30,30,30,30,30,30,30,1030). Először is, az Excelbe épített IRR függvény segítségével meghatározhatja a lejáratig számított hozamot - körülbelül 2,5% negyedévente. Éves alapon ez körülbelül 10,38% (kamatos kamattal együtt), de ebben az esetben ez nem számít. Az időtartam lesz

{\begin{aligned}D={\frac {1}{1035.85}}(&1\cdot 30/1{,}025^{1}+2\cdot 30/1{,}025^{2 }+3\cdot 30/1{,}025^{3}+4\cdot 30/1{,}025^{4}+\\&+5\cdot 30/1{,}025^{5} +6\cdot 30/1{,}025^{6}+7\cdot 30/1{,}025^{7}+8\cdot 1030/1{,}025^{8})\approx \end {igazított}}

\quad \approx (29{,}27+57{,}11+83{,}57+108{,}71+132{,}58+155{,}2+176{,}67+ 6762{,}95)/1035{,}85\kb

\quad \approx 7506{,}1/1035{,}85\kb 7{,}246,

azaz körülbelül 7,25 negyedév vagy 1,81 év (körülbelül 1 év és 10 hónap), vagy 661 nap.

Az években kifejezett futamidő segítségével megbecsülheti, hogy egy kötvény árfolyama hány százalékkal változik, ha a hozam megváltozik, például évi 1%-kal. Ehhez megbecsüljük a módosított időtartamot: 1,81/1,035 = 1,74. Ezért az árváltozás százalékos aránya 1,74% lesz. Ez nagyjából megfelel az 1 053,87 rubel árának alacsonyabb árfolyamon és 1 017,82 rubelnek. amikor az árfolyamok emelkednek. A kötvény értékének érzékenységének pontosabb becslése a pénzáramlás konvexitása mellett is megadható .

Lásd még

Linkek

Időtartam a beruházáselemzésben számítási példa, definíció, jellemzők, képlet, összehasonlítási feltételek, elfogadási kritérium, hátrányok.