A kamatlábak alakulásának diffúziós modellje

A kamatlábak alakulásának diffúziós modellje a pénzügyi matematikában egy matematikai modell a kamatlábak dinamikájának sztochasztikus differenciáldiffúziós egyenlet formájában történő leírására. A kamatláb-modellek családja igen változatos, ideértve az egytényezős (spot-rate modellek) és a többtényezős modelleket, valamint az előremutató görbe modelleket is.

A rövid lejáratú kamatláb egytényezős modelljét a következőképpen ábrázoljuk:

${\displaystyle dr=a(t,r(t))dt+b(t,r(t))dW_{t))$

hol van a Wiener-folyamat $W_{t}$

Az azonnali árfolyamok alakulásának modelljei alapján a hozamgörbe és annak alakulása modelljeit kapjuk. Az egytényezős modellek esetében a hozamgörbe alakulását csak párhuzamos eltolódás, felfelé vagy lefelé korlátozza. A rövid és hosszú árfolyamokat leíró kéttényezős modellek lehetővé teszik a görbe meredekségének változásának modellezését. A tényezők számának további növekedése növeli a hozamgörbe szabadságfokainak számát, például egy háromtényezős modell lehetővé teszi homorú vagy „púpos” hozamgörbe leírását.

A modellbe bevonható faktorok száma nincs korlátozva, de gyakorlati okokból általában legfeljebb tíz faktort használnak.

A határidős hozamgörbe modellek általánosítanak többtényezős modelleket, mivel a teljes hozamgörbe alakulását írják le egyetlen egyenletben. A Forwardok közé tartozik a HJM és a Libor Market Model.

Alapmodellek

Merton modell

Ez a Merton által 1973-ban javasolt legegyszerűbb modell, amelyben a és b konstansok:

${\displaystyle dr=\alpha dt+\sigma dW_{t))$

Vasicek modellje

A modellt Vasicek javasolta 1977-ben. Ennek a modellnek a keretében feltételezzük, hogy a kamatláb egy bizonyos átlagos szint körül ingadozik:

${\displaystyle dr=\alpha (\beta -r_{t})dt+\sigma dW_{t))$

Az átlagos kamatláb itt . $\beta$

A Vasicek-modellben az árfolyam volatilitása nem függ az aktuális árfolyamértéktől. Emellett a Vasicek-modell elméletileg negatív rátákat is lehetővé tesz [1] .

A Dotan (Randleman-Barter) modell

Ebben a modellben a és b arányosak a kamatláb értékével, azaz geometriai Brown-mozgást alkalmazunk, ami azt jelenti, hogy a negatív kamatlábak kizárásra kerülnek:

${\displaystyle dr=\alpha r_{t}dt+\sigma r_{t}dW_{t))$

A Cox-Ingersol-Ross modell

Ez a modell a Vasicek-modell továbbfejlesztése a volatilitás árfolyamtól való függőségének figyelembevétele irányába. Ebben az esetben a volatilitás arányos a tét négyzetgyökével:

${\displaystyle dr=\alpha (\beta -r_{t})dt+\sigma {\sqrt {r_{t))}dW_{t))$

Ho-Lee modell

${\displaystyle dr=\alpha _{t}dt+\sigma dW_{t))$

A Black-Derman-Toy modell

$d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t)){\sigma _{t))}\ln(r)]dt+\sigma _{ t}\,dW_{t}$

Hull-White modell

Ha a Cox-Ingersol-Ross modellben a paramétereket nem állandónak, hanem az idő függvényének tekintjük, akkor az 1990-ben javasolt Hull-White modellt kapjuk:

${\displaystyle dr=\alpha _{t}(\beta _{t}-r_{t})dt+\sigma _{t}{\sqrt {r_{t))}dW_{t))$

A Black-Karasinsky modell

1991-ben javasolt modell

${\displaystyle dr=r_{t}(\alpha _{t}-\beta _{t}\ln r_{t})dt+\sigma _{t}r_{t}dW_{t))$

A Zandman-Sonderman modell

1993-ban javasolt modell:

$di=i_{t}(\alpha _{t}dt+\sigma _{t}dW_{t})~,~~r=\ln(1+i)$

Chen modellje

Ebben az 1995-ben javasolt modellben azt feltételezzük, hogy az alap diffúziós modell együtthatói is diffúziós típusú véletlenszerű folyamatok:

${\displaystyle dr_{t}=(\alpha _{t}-r_{t})dt+{\sqrt {\sigma _{t}r_{t))}dW_{t}^{r))$

${\displaystyle d\alpha _{t}=(\alpha -\alpha _{t})dt+{\sqrt {\alpha _{t))}dW_{t}^{\alpha ))$

${\displaystyle d\sigma _{t}=(\sigma -\sigma _{t})dt+{\sqrt {\sigma _{t))}dW_{t}^{\sigma ))$

hol vannak a független Wiener-folyamatok. Így a modell háromtényezős. ${\displaystyle W_{t}^{r},W_{t}^{\alpha },W_{t}^{\sigma ))$

Schmidt modell

A modellt 1997-ben javasolták, és sok más modell általánosítása, és "explicit" formában jelenik meg:

$r_{t}=F(f_{t}+g_{t}W_{T_{t)))$

${\displaystyle T_{t}~,F(x)~,f_{t}~,g_{t))$ folytonos függvények, azzal a kivétellel, hogy nem negatívak. $f_t$

Jegyzetek

↑ Shreve SE Sztochasztikus kalkulus a pénzügyekhez II: Folyamatos idejű modellek : [ eng. ] . - Springer, 2004. - 4.4 Itô-Doeblin Formula. - P. 151. - 550 p. — ISBN 0-387-40101-6 .