Arány (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az arányosság ( latin proportio „részek arányossága, egyenletessége; a részek bizonyos aránya egymáshoz képest”) két [vagy több] számpár arányának egyenlősége és , azaz a forma egyenlősége , vagy más jelölésekkel egyenlőség (gyakran így olvasható: „ ugyanúgy vonatkozik rá , mint a ”-ra). Ebben az esetben és az arány szélső , és - átlagos tagjait nevezzük . Ezt az arányt geometriainak is nevezik , nem tévesztendő össze az aritmetikai és a harmonikus arányokkal . $a, b$ $c, d$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $a$ $b$ $c$ $d$ $a$ $d$ $b$ $c$

Az arányok alapvető tulajdonságai

Az arány megfordítása. Ha , akkor $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Az arány szélső tagjainak szorzása a középsőkkel (keresztben). Ha , akkor . Más szóval, a szélső tagok szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával. Ezt a tulajdonságot az arány alaptulajdonságának nevezzük. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Közép- és szélsőtagok permutációja. Ha , akkor $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(az arány középső tagjainak permutációja),

\ {\frac db}={\frac ca}

(az arány szélső tagjainak permutációja).

Növekvő és csökkenő arányok. Ha , akkor $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(aránynövelés),

\ {\dfrac {ab}{b}}={\dfrac {cd}{d}}

(arány csökkentése).

Arányok kialakítása összeadással és kivonással. Ha , akkor $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(arány összeállítása összeadással),

\ {\dfrac {ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(arány felállítása kivonással). Bizonyítás (arányosítás összeadással és kivonással)

Hozzáadásul bebizonyítjuk. Az arány fennmaradó tagjain keresztül fejezzük ki: . Akkor: $c$ $c={\frac {ad}{b))$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+ d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

A kivonásnál a bizonyítás hasonló. ■

Történelem

Az egyenlő arányok első ismert definícióját az egymást követő kivonások egyenlőségeként adták meg [1] , a mai nyelven ez a nagyságarányok folytonos törtek egyenlőségeként fejezhető ki . [2] Később Cnidus Eudoxus leegyszerűsítette a definíciót, az arányok egyenlőségét a három aránypár egyikének egyidejű teljesüléseként határozta meg. $a:b=c:d$

$m\cdot a>n\cdot b$ és , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ és , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ és $m\cdot c<n\cdot d$

bármely természetes számpárra és . Ezt a definíciót az Euklidész Elemek című könyve tartalmazza . $m$ $n$

A valós számok megjelenésével nem volt szükség speciális arányelméletre, az ókori matematikusok a hosszúság arányait nem tekintették számoknak. Az Eudoxus valamivel elvontabb formában megadott definícióját később Dedekind a valós számok vágási definíciójában használták .

Kapcsolódó definíciók

Aritmetikai arány

Két különbség egyenlőségét néha számtani aránynak is nevezik [3] . $ab=cd$

Harmonikus arány

Ha a geometriai arányban a középső tagok egyenlőek, az utolsó pedig az első és a középső közötti különbség, akkor ezt az arányt harmonikusnak nevezzük . Ebben az esetben a két tag összegére történő bontást harmonikus osztásnak vagy aranymetszetnek nevezzük [4] . $a:b=b:(ab)$ $a$ $b$ $ab$

A hármas szabály problémái

Az egyszerű hármasszabályra vonatkozó feladat tartalma két arányos függéssel összefüggő mennyiséget tartalmaz, míg az egyik mennyiségnek két értéke, a másik mennyiségnek pedig a megfelelő értékeinek egyike adott, de ez második értékének megtalálásához.

Az összetett hármasszabályra vonatkozó feladatokat olyan feladatoknak nevezzük, amelyekben több (kettőnél több) arányos mennyiség sorozatához meg kell találni az egyik értékét, amely megfelel adott mennyiségek egy másik sorozatának [5] [6] .

Lásd még

Arányosság

Jegyzetek

↑ Arisztotelész Topekája
↑ Von Fritz, Kurt . "Metapontumi Hippasus az összemérhetetlenség felfedezése". A matematika évkönyvei. - 1945. - S. 242-264.
↑ Aritmetikai arányok // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ Harmonikus arány // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Az elemi matematika kézikönyve . Letöltve: 2018. január 8. Az eredetiből archiválva : 2018. január 8.. (határozatlan)
↑ Feladatok megoldása egy egyszerű hármas szabály alapján. Megoldási módok . Letöltve: 2018. január 8. Az eredetiből archiválva : 2018. január 8.. (határozatlan)

Irodalom

Van der Waerden, B. L. Az ébredés tudománya. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. / per. egy góllal I. N. Veselovsky. — M .: GIFML, 1959.