Harmonikus kapacitás

A harmonikus kapacitás egy halmaz jellemzője, amely egy adott alakú tárgy elektromos töltés megtartására való képességét méri.

Definíció

Egy kompakt részhalmaz harmonikus kapacitását az integrál legkisebb értékeként határozzuk meg $C(K)$ $K\subset \mathbb {R} ^{n}$

C(K)=\inf _{u}\left\{\,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x\,\jobbra\}

az összes Lipschitz - függvényen úgy, hogy bármely és for . $u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $u(x)=1$ $x\in K$ $u(x)\to 0$ $|x|\to \infty$

Jegyzetek

A pontos felső határt egy harmonikus komplementer függvény esetén érjük el ; innen ered a neve. $u(x)$ $\mathbb {R} ^{n}\setminus K$

Tulajdonságok

A harmonikus kapacitás monoton a befogadásban; vagyis ha , akkor . $K\subset K'$ $C(K)\leqslant C(K')$

Irodalom

E. D. SZOLÓMENTSZEV. Harmonikus kapacitás // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : ill. — 150.000 példány.

Lásd még

Elektromos kapacitás