Maxwell-Boltzmann statisztika

A Maxwell-Boltzmann statisztika egy statisztikai módszer olyan fizikai rendszerek leírására, amelyek nagyszámú, a klasszikus mechanika törvényei szerint mozgó nem kölcsönható részecskét tartalmaznak (vagyis egy klasszikus ideális gázt ); L. Boltzmann osztrák fizikus javasolta 1871-ben .

Elosztási kimenet

A Maxwell-Boltzmann eloszlás az általános Gibbs-eloszlásból származtatható . Tekintsünk egy egységes mezőben lévő részecskék rendszerét. Egy ilyen mezőben az ideális gáz minden molekulájának összenergiája van

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

ahol a transzlációs mozgásának kinetikus energiája, és egy külső térben a potenciális energia, amely annak helyzetétől függ. $\varepsilon _{kin}$ $u$

Az energia kifejezésének behelyettesítése a Gibbs-eloszlásba egy ideális gázmolekulához

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(hol van annak a valószínűsége, hogy a részecske olyan állapotban van, ahol koordináták és nyomatékértékek vannak, az intervallumban ), van: $\mathrm {d} w$ $q$ $p$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepszilon _{kin}+u}{kT)) \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

ahol az állapotok integrálja:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT))\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

Az integráció a változók összes lehetséges értékén keresztül történik. A Planck-állandó , a Boltzmann -állandó , a hőmérséklet, . Továbbá az állapotok integrálja a következő formában írható fel: $h$ $k$ $T$ $\theta =kT$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left (-{\frac {u}{kT}}\jobbra)\mathrm {d} V.

Ezért a Gibbs-eloszlás egységnyire normalizált gázmolekulára külső tér jelenlétében a következőképpen alakul:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

Az így kapott valószínűségi eloszlást, amely annak valószínűségét jellemzi, hogy egy molekula egy adott intervallumban impulzussal rendelkezik, és egy adott térfogatelemben van, Maxwell-Boltzmann eloszlásnak nevezzük .

Néhány tulajdonság

A Maxwell-Boltzmann eloszlást tekintve egy fontos tulajdonság szembeötlő - ez két tényező szorzataként ábrázolható:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\jobb)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ jobb].

Az első tényező nem más, mint a Maxwell-eloszlás , ez jellemzi az impulzusok közötti valószínűségi eloszlást. A második tényező csak a részecskék koordinátáitól függ, és a potenciális energia típusa határozza meg; a d térfogatú részecske megtalálásának valószínűségét jellemzi . $V$

A valószínűségszámítás szerint a Maxwell-Boltzmann-eloszlás két független esemény valószínűségének szorzatának tekinthető - egy adott "impulzus" intervallumban az impulzusérték realizálása és a molekula adott helyzetében való realizálása. koordináta" intervallum. Az első:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

a Maxwell-eloszlás; második esély:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

a Boltzmann-eloszlás. Nyilvánvalóan mindegyik egységre normalizálódik.

A Boltzmann-eloszlás egy speciális esete a kanonikus Gibbs-eloszlásnak egy ideális gázra egy külső potenciálmezőben, mivel a részecskék közötti kölcsönhatás hiányában a Gibbs-eloszlás az egyes részecskékre vonatkozó Boltzmann-eloszlások szorzatára bomlik.

A valószínűségek függetlensége fontos eredményt ad: az impulzus adott értékének valószínűsége teljesen független a molekula helyzetétől, és fordítva, a molekula helyzetének valószínűsége nem függ a lendületétől. Ez azt jelenti, hogy a részecskék impulzus- (sebesség-) eloszlása nem függ a mezőtől, vagyis pontról pontra változatlan marad abban a térben, amelybe a gáz be van zárva. Csak a részecske észlelésének valószínűsége, vagy ezzel egyenértékű részecskék száma változik.

Lásd még

Bibliográfia

Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
Raj Pathria , "Statistical Mechanics", Butterworth-Heinemann, 1996.