Atom Crandall

A Crandall atom [1] egy kételektronos probléma, amely pontos megoldást tesz lehetővé. Az atommag harmonikus potenciáljában mozgó elektronokat ábrázol, köztük Coulomb taszítással. A [2] -ben figyelembe vették .

Definíció

A Crandall-atomot definiáló Hamilton-féle atomi mértékegységek , Planck -állandó , tömeg segítségével felírható [2] $\hbar=1$ $m=1$

{\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})+{\frac { \omega ^{2}}{2}}({\textbf {r}}_{1}^{2}+{\textbf {r}}_{2}^{2})+{\frac {\ lambda }{({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})^{2}}}

ahol r 1 , r 2 az 1 és 2 indexű részecskék koordinátái, ω az oszcillátor tisztasága, λ>0 az elektron-elektron kölcsönhatási együttható. Az első két tag az egyes elektronok kinetikai és potenciális energia operátorai 1 és 2 indexekkel, a harmadik tag pedig az elektron-elektron potenciál, amely a részecskék közötti távolság reciprok kockájával rendelkezik.

Megoldás

Az állapot energia [2]

E_{n,l,m}^{n',l',m'}={\frac {\omega }{2))\left(5+4n+4n'+2l'+{\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)}}\jobbra),

és a hullámfüggvények

\psi _{n,l,m}^{n',l',m'}(u,v)=e^{-{\frac {1}{2))\omega ({\textbf {u}}^{2}+{\textbf {v}}^{2})}u^{'l}v^{a}L_{n'}^{l'+1/2}(\omega u^{2})L_{n}^{a+1/2}(\omega v^{2})Y_{l',m'}(\theta _{u},\phi _{u}) Y_{l,m}(\theta _{v},\phi _{v}),

ahol , L Laguerre polinomok , Y gömbharmonikusok és új koordináták $a={\frac {1}{2}}({\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)))-1),$ ${\textbf {u}}=({\textbf {r}}_{1}+{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}),$ ${\textbf {v}}=({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}.$

Jegyzetek

↑ C. A. Downing. Kételektronos atom árnyékolt kölcsönhatással // Phys . Fordulat. A. - 2017. - Kt. 95, . — P. 022105 . - doi : 10.1103/PhysRevA.95.022105 .
↑ 1 2 3 R. Crandall, R. Whitnell és R. Bettega. Pontosan oldható kételektronos atomi modell (angol) // Am. J. Phys. - 1984. - Vol. 52 . - P. 438-442 . - doi : 10,1119/1,13650 .