Dinamikus rendszer entrópiája

A dinamikus rendszer entrópiája egy olyan szám, amely egy dinamikus rendszer pályáinak véletlenszerűségi fokát fejezi ki . Létezik a metrikus entrópia , amely a dinamika véletlenszerűségét írja le egy rendszerben egy invariáns mértékkel a kezdeti feltétel véletlenszerű megválasztásához, és a topológiai entrópia , amely a dinamika véletlenszerűségét írja le a törvény feltételezése nélkül. a kezdőpont kiválasztásáról.

A dinamikus rendszerek elméletének variációs elve kimondja, hogy egy folytonos dinamikus rendszernél egy kompakt halmazon a topológiai entrópia egyenlő a metrikusok legkisebb felső korlátjával, átvéve a rendszer invariáns mértékeinek összes lehetséges választását.

Topológiai entrópia

Legyen adott egy metrikus kompakt halmaz folytonos leképezése önmagára. Ezután a be mérőszámot a következőképpen határozzuk meg $T$ ${\megjelenítési stílus (X,d)}$ $d_{n}$ $x$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

más szóval, ez az a maximális távolság, amelyen a pályák keringenek és eltérnek az iterációk során. Továbbá egy adott halmazra azt mondjuk, hogy egy halmaz -elválasztott , ha a pontjai közötti páronkénti -távolság nem kisebb, mint , és a legnagyobb ilyen halmaz számosságát jelöljük . Ekkor a leképezés topológiai entrópiája a kettős határ $x$ $y$ $n$ $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$ $T$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon ).

Ugyanazt az értéket másképp is definiálhatjuk: ha a legkisebb -hálózat hatványával jelöljük, akkor $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon ).

Ezen definíciók egyenértékűsége könnyen levezethető az egyenlőtlenségekből , érdemes megjegyezni, hogy mindkét definíció formalizálja a következő nem szigorú fogalmat: ismeretlen kiindulási ponthoz mennyi információt kell beszerezni iterációnként ahhoz, hogy nagyszámú iterációk egy kis fix hibával. $N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).$

Metrikus entrópia

Legyen mértékmegőrző mérhető dinamikai rendszer. Definíció szerint egy partíció entrópiája a szám ${\megjelenítési stílus (X,T,\mu )}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j))$

H(\xi ):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),

amely egy -random pontot tartalmazó partícióelem definíciójának információs entrópiáját határozza meg. $\mu$

A partíció iteratív finomítása , $\xi$

\xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\right\}

határozza meg, hogy az iterációk során mely elemekben jelenik meg a pont , és ennek megfelelően az értéket $\xi$ $k$

h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})

egy ilyen folyamat információs entrópiáját fejezi ki. Végül a mértékbeli leképezés metrikus entrópiája az összes lehetséges partíció legkisebb felső korlátja : $T$ $\mu$ $h_{\mu }(\xi )$ $\xi$

h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).

Irodalom

Katok A. B. , Hasselblat B. Bevezetés a dinamikus rendszerek modern elméletébe / ford. angolról. A. Kononenko S. Ferleger közreműködésével. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .