Exponenciális kijelző

Exponenciális leképezés – messze[ tisztázza ] az exponenciális függvény futó általánosítása a Riemann geometriában .

A Riemann-féle sokaság esetében az exponenciális leképezés az érintőkötegtől magáig a sokaságig hat . $M$ $TM$ $M$

Az exponenciális leképezést általában jelölik , és egy pontban az érintőtérre való korlátozását jelölik és nevezik exponenciális leképezésnek egy pontban . $\exp \colon TM\to M$ $T_{p}M$ $p\in M$ $\exp _{p}\colon T_{p}M\to M$ $p$

Definíció

Legyen egy Riemann-féle sokaság és . Minden vektorhoz van egy egyedi geodéziai kimenő a pontból (azaz ), hogy . $M$ $p\in M$ $v\in T_{p}M$ $\gamma _{v}(t)$ $p$ $\gamma _{v}(0)=p$ $\gamma _{v}'(0)=v$

Egy vektor exponenciális leképezése a pont , vagy . $v$ $\gamma _{v}(1)\in M$ $\exp v=\gamma _{v}(1)$

Tulajdonságok

$\exp _{p}(0)=p$ .

Minden ponthoz létezik egy szám , amely szerint az exponenciális leképezés minden olyan vektorra definiálva van, amely kielégíti a feltételt . $p\in M$ $\varepsilon >0$ $\exp _{p}$ $v\in T_{p}M$ $|v|\leq \varepsilon$
- Ezen túlmenően, az érintőtérben lévő nulla valamely környezetének diffeomorfizmusa a sokaság egy pontjának valamely szomszédságához . Így egy sokaságpont bizonyos környezetében egy inverz exponenciális leképezés van definiálva (amelyet logaritmusnak nevezünk és jelöljük ), amely az érintőtér nullapontjának egy bizonyos környezetében működik . $\exp _{p}$ $T_{p}M$ $p$ $M$ $p$ $M$ $\log _{p}$ $T_{p}M$

Egy metrikusan teljes Riemann-sokaságban exponenciális leképezés van definiálva bármely érintővektorra ( Hopf–Rinow tétel ).

Az exponenciális leképezés különbsége bármely pontban az azonosság lineáris operátora. Azaz $p$ $(d_{p}\exp _{p})(v)=v$

bármely . Itt azonosítjuk a teret önmagával.

v\in T_{p}M

T_{p}M

( Gauss lemma a geodetikusról ) Bármelyikre $x,v\in T_{p}$ $g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

ahol az exponenciális leképezés differenciálját jelöli .

{\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x))

A kétinvariáns metrikával rendelkező Lie -csoportok esetében az exponenciális leképezés egybeesik a szokásos csoportelméleti exponenciálissal.

Linkek

A. V. Csernavszkij . Előadások a klasszikus differenciálgeometriáról (10. FEJEZET)

Irodalom

B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko modern geometria. - Bármilyen kiadás.
A. S. Mishchenko, A. T. Fomenko . Differenciálgeometria és topológia tantárgy. - Bármilyen kiadás.
M. M. Posztnyikov . Geodézia variációs elmélete. - Bármilyen kiadás.