Forgatási szám

A dinamikus rendszerelméletben , a matematika egyik ágában a kör orientáció-megőrző homeomorfizmusának forgási száma az átlagos "iterációnkénti elforgatások száma" egy pont hosszú iterációja során. Pontosabban a (valahogy meghatározott) "fordulatok száma" és az iterációk számának a határa.

Definíció

Formális definícióhoz a kör homeomorfizmusa helyett annak felemelését tekintjük úgy, hogy a kört egy vonallal fedjük le . Ennek az emelkedésnek a nyírási száma a határérték $f:S^{1}\to S^{1}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

hol van egy tetszőleges pont. Az f forgásszámot ezután a következőképpen definiáljuk $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Tulajdonságok

A forgatási szám invariánsa egy tájékozódást megőrző topológiai ragozásnak, sőt az 1. fokú leképezésekkel félkonjugáció is: ha az 1. fokú leképezés olyan, hogy ahol a kör homeomorfizmusok vannak, akkor az és a forgatási számok egybeesnek. $h:S^{1}\to S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f,g$ $f$ $g$
Ahogy Poincaré tétele kimondja , a forgásszám akkor és csak akkor racionális, ha a leképezésnek van periodikus pontja.
Denjoy tétele kimondja, hogy ha egy leképezés C 2 -sima, és a forgásszáma irracionális, akkor konjugált egy forgással . $f$ $\rho (f)$ $f$ $\rho (f)$
A forgásszám folyamatosan függ a homeomorfizmustól – a leképezés folyamatos. $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$

Irodalom

Katok A. B. , Hasselblat B. Bevezetés a dinamikus rendszerek modern elméletébe / ford. angolról. A. Kononenko S. Ferleger közreműködésével. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .