Részleges lábnyom

A lineáris algebrában a parciális nyom általánosítja a mátrix nyomának fogalmát . A lineáris operátor nyomvonala skalár , míg a részleges nyomvonal maga egy lineáris operátor . A részleges nyomkövetést a kvantuminformatika és a dekoherenciaelmélet alkalmazzák .

Definíció

Bármely térben jelölje a rajta lévő lineáris operátorok terét . Legyen véges dimenziós vektorterek egy és méretű mező felett . Legyenek V és W bázisai rendre , és . $A$ $A$ $L(A)$ $V$ $W$ $m$ $n$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Részleges nyomvonal térre , ezt a leképezést a reláció adja meg $\operatorname {Tr} _{W}$ $W$ $\{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operátornév {Tr} _{ W}(A)\in \operátornév {L} (V)$ $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Az így definiált lineáris operátor nem függ a bázis megválasztásától , és . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Részleges nyomkövetés, mint kvantumművelet

Tekintsük a kétrészecskés állapotokat. A tiszta állapotvektorok a Hilbert térhez tartoznak, a sűrűségmátrixok pedig rendre . Tekintsük a sűrűségmátrixot . $H_{A}\otimes H_{B}$ $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$ $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$

${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\))$ és a terek és, ill. $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ $HA}$ $H_{B}$

Ezután az alrendszert a sűrűségmátrix írja le $A$ $\rho _{A}=\operátornév {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{ {\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B))$

Irodalom

D. A. Kronberg, Yu. I. Ozhigov, A. Yu. Chernyavsky (2012). "A kvantumszámítógép-tudomány algebrai apparátusa" .