Részleges sorozatkorlát

Egy sorozat részleges határa az egyik részsorozatának a határa , ha létezik. A konvergens numerikus sorozatok esetében a parciális határ egybeesik a szokásos határértékkel az utóbbi egyedisége miatt, de a legáltalánosabb esetben egy tetszőleges sorozatnak nullától végtelen számú különböző parciális határértéke lehet. Sőt, ha a szokásos határérték azt a pontot jellemzi, amelyhez a sorozat elemei növekvő számmal közelednek, akkor a parciális határok azokat a pontokat, amelyek közelében a sorozatnak végtelen sok eleme van.

A részleges határ két fontos speciális esete a felső és az alsó határ.

Definíciók

Egy sorozat részleges határértéke bármely részsorozatának határértéke , ha van legalább egy olyan részsorozat, amelynek van határértéke. Ellenkező esetben a sorozatnak nincs részleges korlátja. Egyes szakirodalomban olyan esetekben, amikor egy sorozatból végtelenül nagy részsorozatot lehet kiválasztani, amelynek minden eleme egyidejűleg pozitív vagy negatív, annak részhatárát rendre , ill . $+\infty$ $-\infty$

Egy sorozat alsó határa a sorozat részhatárainak halmazának legkisebb értéke.

Egy sorozat felső határa a sorozat részhatárainak halmazának legkisebb felső határa .

Néha egy sorozat alsó határa a legkisebb, a felső határa pedig a legnagyobb. [1] Ezek a definíciók egyenértékűek, mivel a határpontok halmazának pontos lapja szükségszerűen ehhez a halmazhoz tartozik.

Jelölés

Alsó sorozathatár : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (a hazai irodalomban);

$\liminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (a külföldi irodalomban).

Sorozat felső határa : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (a hazai irodalomban);

$\limsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (a külföldi irodalomban).

Példák

$\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n \to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

$\varliminf _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=-1$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=+1$

$\nlétezik \varliminf _{{n\to \infty }}n,\nlétezik \varlimsup _{{n\to \infty }}n$ (más terminológiában mindkét határ egyenlő ) $+\infty$

Tulajdonságok

Egy sorozat részleges határértéke csak a határpontja lehet , és fordítva, egy sorozat bármely határpontja a részhatárának egy része. Más szavakkal, a „sorozat részleges határa” és „sorozat határpontja” fogalmak egyenértékűek az [a]-val .
Minden korlátos sorozatnak van felső és alsó határa is (a valós számok halmazában ). Ha figyelembe vesszük a részleges határ megengedett értékeit is, akkor a felső és az alsó határok általában minden számsorhoz léteznek. $-\infty$ $+\infty$
Egy numerikus sorozat akkor és csak akkor konvergál . $\{x_n\}$ $a$ $\varliminf _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=\varlimsup _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=a$
Bármilyen előre vett pozitív szám esetén a korlátozott számsorozat minden eleme a -tól függő számtól kezdve az intervallumon belül van . $\varepsilon$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Ha egy korlátozott numerikus sorozatnak csak véges számú eleme van az intervallumon kívül , akkor az intervallum benne van az intervallumban . $\left(a,b\jobb)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\jobb)$
A részleges korlátok halmaza zárva van.

Jegyzetek

Megjegyzések

↑ Emlékeztetni kell arra, hogy egy olyan elem, amely egy sorozatban végtelen számú alkalommal előfordul, ennek a sorozatnak a határpontja (szemben egy halmaz határpontjával).

Források

↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 3. fejezet. Határok elmélete // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92 - 105. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .