Részleges geometria

Legyen egy pontokból , vonalakból és zászlókból álló beesési struktúra . Egy pontról azt mondjuk, hogy egy egyenesbe esik, ha . Egy szerkezetet véges parciális geometriának nevezünk, ha vannak olyan egész számok , amelyek: $C=(P,L,I)$ $P$ $L$ $I\subseteq P\times L$ $p$ $l$ $(p,l)\az I-ben$ $s,t,\alpha \geq 1$

Bármely különböző pontpár esetén, és legfeljebb egy vonal esik mindkét pontba. $p$ $q$
Minden vonal egy pontba esik. $s+1$
Minden pont egybeesik a vonalakkal. $t+1$
Ha egy pont és egy egyenes nem incidens, akkor pontosan vannak olyan párok , amelyek incidensek és incidensek . $p$ $l$ $\alpha$ $(q,m)\in I$ $p$ $m$ $q$ $l$

Az ezekkel a paraméterekkel rendelkező részleges geometriát jelöli . $pg(s,t,\alpha )$

Tulajdonságok

A pontok számát a képlet adja meg , a sorok számát pedig a képlet . ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha ))$
A struktúra [1] pontgráfja egy erősen szabályos gráf : . $pg(s,t,\alpha )$ $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha )),s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+ one ))$
A részleges geometriák kettősek – a kettős szerkezet egyszerűen a szerkezet . $pg(s,t,\alpha )$ $pg(t,s,\alpha )$

Különleges esetek

Az általánosított négyszögek pontosan parciális geometriák -val . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha=1$
A Steiner rendszerek pontosan parciális geometriák -val . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha =s+1$

Általánosítások

Egy részlegesen lineáris sorrendű félig részleges geometriának nevezünk, ha vannak olyan egész számok , amelyek: $S=(P,L,I)$ $s,t$ $\alpha \geq 1,\mu$

Ha egy pont és egy egyenes nem incidens, akkor vagy vagy pontosan olyan párok vannak, amelyek incidensek és incidensek . $p$ $\ell$ $0$ $\alpha$ $(q,m)\in I$ $p$ $m$ $q$ $\ell$
Bármely nem kollineáris pontpárnak pontosan közös szomszédai vannak. $\mu$

A félig részleges geometria akkor és csak akkor részgeometria . $\mu =\alpha (t+1)$

Könnyen kimutatható, hogy egy ilyen geometria kollinearitási gráfja [1] szigorúan szabályos paraméterekkel . $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1) ,\mu )$

Egy ilyen geometriára jó példát kapunk, ha affin pontokat veszünk, és csak azokat az egyeneseket, amelyek a síkot a végtelenben metszik egy rögzített Baer-alsík egy pontjában. A geometriának vannak paraméterei . $PG(3,q^{2})$ $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$

Jegyzetek

↑ 1 2 Adott egy P parciális geometria , amelyben bármely két pont legfeljebb egy egyenest határoz meg, a P geometria kollinearitási gráfja vagy pontgráfja az a gráf, amelynek csúcsai a P pontok , és két csúcsot akkor és csak egy él köt össze. ha P -ben definiálnak egy sort. _

Irodalom

Brouwer AE, van Lint JH Erősen szabályos gráfok és részleges geometriák // Felsorolás és tervezés / Jackson DM, Vanstone SA. Toronto: Academic Press, 1984. 85–122.
Bose RC Erősen szabályos grafikonok, részleges geometriák és részben kiegyensúlyozott tervek // Pacific J. Math. - 1963. - T. 13 . – S. 389–419 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. A 2. rangú geometriák néhány osztálya // Handbook of Incidence Geometry. - Amszterdam: Észak-Holland, 1995. - S. 433-475.
Thas JA Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. - 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — 557–561. — ISBN 1-58488-506-8 .
Debroey I., Thas JA A félpartiális geometriákról // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. - 1978. - T. 25 . — S. 242–250 .