Vektor mező keringés

Egy vektormező cirkulációja egy adott Γ zárt körvonal mentén egy második típusú görbe vonalú integrál , amelyet Γ vett át . Definíció szerint

C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy +F_{z}dz)},

ahol a Γ kontúrt tartalmazó D tartományban meghatározott vektormező (vagy vektorfüggvény) a sugárvektor végtelen kicsi növekménye a körvonal mentén. Az integrál szimbólumon lévő kör azt a tényt hangsúlyozza, hogy az integráció zárt kontúr mentén történik. A fenti definíció érvényes a háromdimenziós esetre, de az alább felsorolt főbb tulajdonságokhoz hasonlóan közvetlenül általánosítható tetszőleges térdimenzióra. ${\mathbf {F}}=\{F_{{x}},F_{{y}},F_{{z}}\}$ $d{\mathbf {l}}=\{dx,dy,dz\}$ ${\mathbf {l}}$

A cirkuláció tulajdonságai

Additivitás

A több szomszédos felületet határoló kontúr menti keringés egyenlő az egyes felületeket külön-külön határoló kontúrok menti cirkulációk összegével, azaz

C=\sum \limits _{{i}}{C_{{i}}}.

Stokes formula

Az F vektor cirkulációja egy tetszőleges Г kontúr mentén egyenlő a vektoráramlással egy tetszőleges S felületen keresztül , amelyet ez a kontúr határol. $\operátornév {rot}{\mathbf {F}}$

\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits _{{S}}{\operatorname {rot}}}{\mathbf { F}}\cdot {\mathbf {n}}dS,

ahol az F vektor forgórésze (örvénye) . $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}=[\nabla ,{\mathbf {F}}]=\left|{\begin{mátrix}{\mathbf {e}}_{{x}}&{ \mathbf {e}}_{{y}}&{\mathbf {e}}_{{z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{ \partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{{x}}&F_{{y}}&F_{{z}}\\\end{mátrix}}\jobbra|$

Ha a kontúr sík, például az OXY síkban fekszik, Green tétele érvényes

\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint \limits _{\Gamma ^{\circ }}{\left({\frac { \partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dxdy},

hol van a kontúr által határolt sík (a körvonal belseje). $\Gamma ^{\circ }$ $\Gamma$

Fizikai értelmezés

Ha F valamilyen erőtér , akkor ennek a mezőnek valamilyen tetszőleges Γ körvonal mentén történő keringése ennek a mezőnek a munkája , amikor a pont a Г kontúr mentén mozog. Innen közvetlenül következik a térpotenciál kritériuma : a mező akkor potenciális, ha tetszőleges zárt körben a keringése nulla. Vagy, ahogy a Stokes-képletből következik, a D tartomány bármely pontján ennek a mezőnek a rotorja nulla.

\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _({\Gamma }}{{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})d{\mathbf {l}}}=0\Bal jobbra \ forall {\mathbf {r}}\in D:\operatorname {rot}{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {0}}.

Történelmi háttér

A "keringés" kifejezést eredetileg a hidrodinamikában vezették be a folyadék zárt csatornán keresztüli mozgásának kiszámítására. Tekintsük egy ideális összenyomhatatlan folyadék áramlását. Egy tetszőleges Γ kontúrt választunk . Képzeljük el gondolatban, hogy (azonnal) lefagyasztottuk az összes folyadékot a térfogatban, kivéve egy vékony, állandó keresztmetszetű csatornát, amely magában foglalja a Γ kontúrt . Ezután a folyadékáramlás kezdeti jellegétől függően az vagy mozdulatlan lesz a csatornában, vagy a kontúr mentén mozog (cirkulál). Egy ilyen mozgás jellemzőjeként egy értéket veszünk, amely egyenlő a csatornán áthaladó folyadék átlagos sebességének és az l kontúr hosszának szorzatával : $u$

C=ul

mivel ebben az esetben végül mindenhol a csatornában a sebesség alakul ki, és a C keringési érték egy egységsűrűségű folyadékra (általánosított) lendületet ad, a folyadék helyzetét jellemző (általánosított) koordinátához konjugálva. mint egész a csatornában, ami némileg leegyszerűsítve egyetlen „porszem” helyzetének felel meg a folyadékban, egy csatorna mentén görbülő vonalzóval mérve. $u$

Mivel a csatorna falainak megszilárdulása során a kontúrra merőleges sebességkomponens kialszik (ezt úgy képzeljük el, hogy ez még azelőtt megtörténik, hogy a csatornában a tangenciális sebesség a folyadék összenyomhatatlansága miatt mindenhol azonos lesz), a folyadék elmozdul. a csatorna mentén közvetlenül a megszilárdulás után a kezdősebesség érintőleges komponensével . Ekkor a keringés úgy ábrázolható $v_{{\tau}}$

C=\oint \limits _{{\Gamma }}{v_{{\tau }}dl}=\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {v}}d{\mathbf {l} }},

ahol dl a kontúrhossz elem.

Később a "keringés" fogalmát kiterjesztették minden vektormezőre, még azokra is, amelyekben szó szerint nincs mit "keringeni".

Irodalom

Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. T.3. M.: "Nauka", 1960.
Szaveljev IV Általános fizika tantárgy . T2. M.: Astrel • AST, 2004.